Calculadora de la ley de senos

La Ley de Senos (también llamada Regla de los Senos) es una de las dos herramientas universales para resolver triángulos en trigonometría — junto con la Ley de Cosenos, estas dos leyes cubren todo triángulo general, no solo los rectángulos. La Ley de Senos establece que la razón entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto es la misma para los tres lados de cualquier triángulo. Este tutorial explica qué dice la ley, cuándo usarla (en comparación con la Ley de Cosenos), cómo resolver un triángulo en cada caso aplicable y el famoso "caso ambiguo" del caso LAL (Lado-Lado-Ángulo).

Enunciado de la ley

Para cualquier triángulo con lados a, b, c y los ángulos A, B, C opuestos a esos lados:

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)

Cada razón en esta cadena es igual a la misma constante — geométricamente, esa constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo (el círculo único que pasa por los tres vértices). Por lo tanto, a / sen(A) = 2R, donde R es el circunradio. Esto proporciona una cuarta forma, menos utilizada, de la ley:

a = 2R · sen(A), b = 2R · sen(B), c = 2R · sen(C)

Cuándo usar la Ley de Senos

La Ley de Senos se aplica siempre que tenga un par lado-ángulo correspondiente — es decir, un lado y el ángulo opuesto a él. Necesita ese par para establecer la razón. A partir de ahí, puede encontrar cualquier otro lado si conoce su ángulo opuesto, o cualquier ángulo si conoce su lado opuesto.

Específicamente:

• LAL (Lado-Ángulo-Lado) / Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. El tercer ángulo se sigue de A + B + C = 180°. Luego, la Ley de Senos da los dos lados restantes.
• AA Lado (Ángulo-Ángulo-Lado): dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. Mismo enfoque.
• LAL (Lado-Lado-Ángulo): dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Este es el caso ambiguo — ver más abajo.

Cuándo usar la Ley de Cosenos en su lugar: LLL (tres lados) y LAL (dos lados + ángulo incluido). En esos casos, aún no se conoce ningún par lado-ángulo, y la Ley de Cosenos es el punto de entrada correcto.

Ejemplo resuelto — ALA

Dados A = 50°, B = 60°, y el lado c entre ellos = 12. Encuentre los otros dos lados.

Tercer ángulo: C = 180° − 50° − 60° = 70°.

Por la Ley de Senos: a/sen(50°) = 12/sen(70°). Despeje a: a = 12 · sen(50°)/sen(70°) ≈ 12 · 0.766/0.940 ≈ 9.78.

Similarmente: b = 12 · sen(60°)/sen(70°) ≈ 12 · 0.866/0.940 ≈ 11.06.

Ejemplo resuelto — AA Lado

Dados A = 35°, B = 45°, a = 7. Encuentre c.

Por la Ley de Senos: 7/sen(35°) = c/sen(C). Primero calcule C: C = 180° − 35° − 45° = 100°. Entonces c = 7 · sen(100°)/sen(35°) ≈ 7 · 0.985/0.574 ≈ 12.02.

El caso ambiguo — LAL (Lado-Lado-Ángulo)

Este es el escenario más preguntado. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, puede haber cero, uno o dos triángulos válidos.

Configuración: lados a y b dados, ángulo A dado (opuesto al lado a). La Ley de Senos da sen(B) = b · sen(A) / a. Hay tres casos para el resultado:

• sen(B) > 1: imposible. No existe ningún triángulo. El lado a es demasiado corto para "alcanzar" el tercer vértice.
• sen(B) = 1: exactamente un triángulo, con B = 90°. El caso único de triángulo rectángulo.
• sen(B) < 1: dos ángulos candidatos: B₁ = arcsen(sen(B)) (agudo) y B₂ = 180° − B₁ (obtusos). Ambos podrían ser válidos — verifique si A + B₂ < 180° en cada candidato. Si tanto A + B₁ < 180° COMO A + B₂ < 180°, tiene dos triángulos válidos. Si solo uno pasa la verificación, tiene un triángulo.

Esta es exactamente la rama LAL implementada en el Resolutor de Triángulos. Cuando existen dos soluciones, ambas se informan con una bandera "ambiguous_note".

Ejemplo resuelto — LAL con dos soluciones

Dados a = 6, b = 8, A = 35°. Encuentre B.

sen(B) = 8 · sen(35°) / 6 = 8 · 0.5736 / 6 ≈ 0.7648.

B₁ = arcsen(0.7648) ≈ 49.886°. Candidato agudo.

B₂ = 180° − 49.886° ≈ 130.114°. Candidato obtuso.

Verifique A + B para cada uno: A + B₁ = 35° + 49.886° = 84.886° (menor que 180°, válido). A + B₂ = 35° + 130.114° = 165.114° (también menor que 180°, válido). Ambos son válidos — existen dos triángulos con las medidas dadas.

El triángulo agudo tiene C = 180° − 84.886° = 95.114°. El triángulo obtuso tiene C = 180° − 165.114° = 14.886°. Los dos triángulos comparten los lados a y b, comparten el ángulo A, pero difieren en B y C y en la longitud de c.

La relación con la circunferencia circunscrita

La razón constante a/sen(A) es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. Esto proporciona una forma rápida de encontrar el circunradio R = a / (2 sen(A)) una vez que se conocen cualquier lado y su ángulo opuesto.

A la inversa, si un triángulo está inscrito en un círculo de radio conocido R, entonces para cualquier ángulo del vértice θ, la cuerda opuesta (lado) tiene longitud 2R · sen(θ). La Ley de Senos es fundamentalmente una declaración sobre círculos, hecha a través del Teorema del Ángulo Inscrito.

Errores comunes

• Confundir sen(A) con A. La razón a/sen(A) usa el SENO del ángulo, no el ángulo mismo. Olvidar tomar el seno hará que sus números sean absurdos.
• Incompatibilidad de modo (grados vs radianes). Nuestra calculadora espera grados. Si su libro de texto está en radianes, convierta. sen(60°) ≈ 0.866 pero sen(60 radianes) ≈ −0.305.
• Intentar usar la Ley de Senos en LLL o LAL (con ángulo incluido). Esos casos no tienen un par lado-ángulo conocido. Use la Ley de Cosenos para obtener el primer ángulo, luego cambie a la Ley de Senos.
• Ignorar el caso ambiguo. Cuando se le da LAL (Lado-Lado-Ángulo), siempre verifique si existen dos soluciones. Muchos problemas de libros de texto esperan que ambos se informen.
• Olvídese de que AAA no determina el tamaño. Tres ángulos dan forma pero no escala. Siempre necesita al menos un lado.