Calculadora de la ley de senos
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In-Depth Tutorial: Calculadora de la ley de senos
La Ley de Senos (también llamada Regla de los Senos) es una de las dos herramientas universales para resolver triángulos en trigonometría — junto con la Ley de Cosenos, estas dos leyes cubren todo triángulo general, no solo los rectángulos. La Ley de Senos establece que la razón entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto es la misma para los tres lados de cualquier triángulo. Este tutorial explica qué dice la ley, cuándo usarla (en comparación con la Ley de Cosenos), cómo resolver un triángulo en cada caso aplicable y el famoso "caso ambiguo" del caso LAL (Lado-Lado-Ángulo).
Enunciado de la ley
Para cualquier triángulo con lados a, b, c y los ángulos A, B, C opuestos a esos lados:
a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)
Cada razón en esta cadena es igual a la misma constante — geométricamente, esa constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo (el círculo único que pasa por los tres vértices). Por lo tanto, a / sen(A) = 2R, donde R es el circunradio. Esto proporciona una cuarta forma, menos utilizada, de la ley:
a = 2R · sen(A), b = 2R · sen(B), c = 2R · sen(C)
Cuándo usar la Ley de Senos
La Ley de Senos se aplica siempre que tenga un par lado-ángulo correspondiente — es decir, un lado y el ángulo opuesto a él. Necesita ese par para establecer la razón. A partir de ahí, puede encontrar cualquier otro lado si conoce su ángulo opuesto, o cualquier ángulo si conoce su lado opuesto.
Específicamente:
- LAL (Lado-Ángulo-Lado) / Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. El tercer ángulo se sigue de A + B + C = 180°. Luego, la Ley de Senos da los dos lados restantes.
- AA Lado (Ángulo-Ángulo-Lado): dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. Mismo enfoque.
- LAL (Lado-Lado-Ángulo): dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Este es el caso ambiguo — ver más abajo.
Cuándo usar la Ley de Cosenos en su lugar: LLL (tres lados) y LAL (dos lados + ángulo incluido). En esos casos, aún no se conoce ningún par lado-ángulo, y la Ley de Cosenos es el punto de entrada correcto.
Ejemplo resuelto — ALA
Dados A = 50°, B = 60°, y el lado c entre ellos = 12. Encuentre los otros dos lados.
Tercer ángulo: C = 180° − 50° − 60° = 70°.
Por la Ley de Senos: a/sen(50°) = 12/sen(70°). Despeje a: a = 12 · sen(50°)/sen(70°) ≈ 12 · 0.766/0.940 ≈ 9.78.
Similarmente: b = 12 · sen(60°)/sen(70°) ≈ 12 · 0.866/0.940 ≈ 11.06.
Ejemplo resuelto — AA Lado
Dados A = 35°, B = 45°, a = 7. Encuentre c.
Por la Ley de Senos: 7/sen(35°) = c/sen(C). Primero calcule C: C = 180° − 35° − 45° = 100°. Entonces c = 7 · sen(100°)/sen(35°) ≈ 7 · 0.985/0.574 ≈ 12.02.
El caso ambiguo — LAL (Lado-Lado-Ángulo)
Este es el escenario más preguntado. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, puede haber cero, uno o dos triángulos válidos.
Configuración: lados a y b dados, ángulo A dado (opuesto al lado a). La Ley de Senos da sen(B) = b · sen(A) / a. Hay tres casos para el resultado:
- sen(B) > 1: imposible. No existe ningún triángulo. El lado a es demasiado corto para "alcanzar" el tercer vértice.
- sen(B) = 1: exactamente un triángulo, con B = 90°. El caso único de triángulo rectángulo.
- sen(B) < 1: dos ángulos candidatos: B₁ = arcsen(sen(B)) (agudo) y B₂ = 180° − B₁ (obtusos). Ambos podrían ser válidos — verifique si A + B₂ < 180° en cada candidato. Si tanto A + B₁ < 180° COMO A + B₂ < 180°, tiene dos triángulos válidos. Si solo uno pasa la verificación, tiene un triángulo.
Esta es exactamente la rama LAL implementada en el Resolutor de Triángulos. Cuando existen dos soluciones, ambas se informan con una bandera "ambiguous_note".
Ejemplo resuelto — LAL con dos soluciones
Dados a = 6, b = 8, A = 35°. Encuentre B.
sen(B) = 8 · sen(35°) / 6 = 8 · 0.5736 / 6 ≈ 0.7648.
B₁ = arcsen(0.7648) ≈ 49.886°. Candidato agudo.
B₂ = 180° − 49.886° ≈ 130.114°. Candidato obtuso.
Verifique A + B para cada uno: A + B₁ = 35° + 49.886° = 84.886° (menor que 180°, válido). A + B₂ = 35° + 130.114° = 165.114° (también menor que 180°, válido). Ambos son válidos — existen dos triángulos con las medidas dadas.
El triángulo agudo tiene C = 180° − 84.886° = 95.114°. El triángulo obtuso tiene C = 180° − 165.114° = 14.886°. Los dos triángulos comparten los lados a y b, comparten el ángulo A, pero difieren en B y C y en la longitud de c.
La relación con la circunferencia circunscrita
La razón constante a/sen(A) es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. Esto proporciona una forma rápida de encontrar el circunradio R = a / (2 sen(A)) una vez que se conocen cualquier lado y su ángulo opuesto.
A la inversa, si un triángulo está inscrito en un círculo de radio conocido R, entonces para cualquier ángulo del vértice θ, la cuerda opuesta (lado) tiene longitud 2R · sen(θ). La Ley de Senos es fundamentalmente una declaración sobre círculos, hecha a través del Teorema del Ángulo Inscrito.
Errores comunes
- Confundir sen(A) con A. La razón a/sen(A) usa el SENO del ángulo, no el ángulo mismo. Olvidar tomar el seno hará que sus números sean absurdos.
- Incompatibilidad de modo (grados vs radianes). Nuestra calculadora espera grados. Si su libro de texto está en radianes, convierta. sen(60°) ≈ 0.866 pero sen(60 radianes) ≈ −0.305.
- Intentar usar la Ley de Senos en LLL o LAL (con ángulo incluido). Esos casos no tienen un par lado-ángulo conocido. Use la Ley de Cosenos para obtener el primer ángulo, luego cambie a la Ley de Senos.
- Ignorar el caso ambiguo. Cuando se le da LAL (Lado-Lado-Ángulo), siempre verifique si existen dos soluciones. Muchos problemas de libros de texto esperan que ambos se informen.
- Olvídese de que AAA no determina el tamaño. Tres ángulos dan forma pero no escala. Siempre necesita al menos un lado.
Preguntas frecuentes – Calculadora de la ley de senos
Úsalo para AAS (2 ángulos + lado no incluido) y ASA (2 ángulos + lado incluido). Para los casos SSS o SAS, usa la Ley de Cosenos.
Cuando conoces dos lados y un ángulo no incluido, puede haber cero, uno o dos triángulos válidos. La calculadora detecta e informa todas las soluciones válidas.
Sí — tres ángulos por sí solos (AAA) solo determinan la forma, no la escala. Se necesita al menos un lado para encontrar longitudes numéricas específicas.
Sí — gratis e ilimitado. AI Solve explica el proceso completo de solución utilizando 3 créditos.
Why a/sin(A) equals 2R — the law's geometric source
The constant ratio in a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) isn't a coincidence; it equals the diameter 2R of the triangle's circumscribed circle. The two-line proof comes from the inscribed angle theorem, and it's worth knowing because it explains why the law works at all.
Draw the triangle inscribed in its circumcircle. Pick any side — say side a opposite angle A — and consider the chord a in the circle. The inscribed angle theorem states that an inscribed angle subtending a chord equals half the central angle subtending the same chord. Specifically, the central angle for chord a is 2A, and the chord length is 2R·sin(A) (basic chord-length formula). Therefore a = 2R·sin(A), which rearranges to a/sin(A) = 2R. The same argument with sides b and c gives the chain.
This means the calculator is implicitly handing you the circumradius whenever you solve a triangle: R = a/(2·sin(A)). For practical use, that radius is exactly the distance from the triangle's circumcenter to each vertex — useful in mechanical drawing for laying out three points that all lie on a known circle, and in computer graphics for fitting a bounding circle to a triangle mesh.
The law extends to spherical geometry — and that's why navigators learned it
On a sphere, the "triangle" has sides that are arcs of great circles, measured in radians (as angular distances). The spherical Law of Sines reads:
sin(a)/sin(A) = sin(b)/sin(B) = sin(c)/sin(C)
Note the sines on both sides — the side lengths are angles too, so they get sined. For a small triangle relative to the sphere's radius, sin(a) ≈ a by Taylor expansion, and the spherical version reduces to the planar one. That's why the planar law works fine for triangles on Earth up to roughly hundreds of kilometers across.
Celestial navigation used this until GPS replaced it in the 1990s — given the angular altitudes of two stars above the horizon, the spherical Law of Sines plus a nautical almanac fixes your ship's position to within a few miles. Pilots still learn the spherical Law of Sines because backup celestial techniques are still part of long-haul flight training in case GPS fails. Spherical trigonometry has a hyperbolic analog too — sinh(a)/sin(A) = sinh(b)/sin(B) = sinh(c)/sin(C) for triangles on a hyperbolic plane — but you'd only encounter that in non-Euclidean geometry coursework or general relativity.
Geometric intuition and edge cases the basic FAQ skips
What does the ambiguous case look like geometrically?
Picture trying to construct a triangle given side a, side b, and angle A opposite a. Draw side b as a horizontal segment, place angle A at one end, and draw a ray from that endpoint at angle A above horizontal — that ray is where the third vertex must lie. Now from the other end of side b, swing an arc of radius a. The third vertex sits at the intersection of the ray and the arc. Depending on lengths, the arc can miss the ray entirely (no triangle), touch it tangentially (one right triangle), or cross it twice (two triangles). The SSA ambiguity isn't an algebraic artifact — it's a real geometric fact about how arcs and rays can meet.
When does the Law of Sines lose numerical precision?
Two situations. First, when an angle is close to 0° or 180°, its sine is close to zero, so dividing by sin(angle) amplifies any input error. A 0.01° measurement error on a 0.5° angle is a 2% error in the answer; the same error on a 60° angle is invisible. Second, in SSA cases where b·sin(A)/a is very close to 1, the two ambiguous-case solutions converge — and which side of 1 the value lands on depends on the last decimal place of your input. For SSA problems near the right-angle boundary, double-check whether your inputs really specify the case you think they do, or compute the triangle two different ways (e.g., also via Law of Cosines once you have one extra value) to verify.
How is this law actually used in surveying?
The classical method is "triangulation from a baseline." Surveyors measure one short baseline very accurately (e.g., 100 m with a calibrated tape), then sight a distant target from each end of the baseline and record the two angles. They now have two angles and the included side — ASA — which the Law of Sines solves in one step to give the distances from each baseline endpoint to the target. Repeating this from new baselines extends the survey across arbitrary terrain. The entire 19th-century mapping of India (the Great Trigonometrical Survey) was built on chained ASA triangulation, and the original survey produced the first accurate height of Mount Everest in 1856.
If I only have two angles, why can't the calculator give numerical sides?
Because two angles determine the triangle's shape but not its scale. A triangle with angles 30°, 60°, 90° is a fixed shape, but it can be drawn at any size — a tiny version inside a notebook and a kilometer-wide version outside both have the same angles. Without at least one side length, every side length scales freely. The third angle is determined (sum to 180°), but no numerical answer for sides is possible. This is why SSS, SAS, AAS, ASA, and SSA work but AAA does not.