Circle Formula: A = πr², C = 2πr (13 Formulas + Calculator)

Área de un círculo = π × r² (A = πr²), donde r es el radio. La circunferencia (también llamada perímetro) de un círculo = 2π × r = π × d, donde d es el diámetro. Estas dos — junto con d = 2r — son las tres fórmulas a las que se reduce todo problema de círculos. A continuación se presentan las 13 fórmulas de círculos que necesitarás: área, perímetro / circunferencia, radio, diámetro, longitud de arco, área del sector, longitud de cuerda, área del segmento, el teorema del ángulo inscrito y la ecuación analítica del círculo. Cada una incluye un ejemplo resuelto.

Las fórmulas

Nombre	Fórmula	Notas
Área (a partir del radio)	`A = π × r²`	r = radio. La clásica "fórmula del área de un círculo".
Área (a partir del diámetro)	`A = π × d² / 4`	Úsala cuando solo conozcas el diámetro. Derivada de A = πr² con r = d/2.
Circunferencia	`C = 2π × r = π × d`	A veces llamada fórmula del perímetro del círculo — ambos nombres se refieren a esta.
Perímetro de un círculo	`P = 2π × r`	Idéntico a circunferencia. "Perímetro" y "circunferencia" son sinónimos para círculos.
Diámetro	`d = 2 × r`	El doble del radio. También d = C/π si conoces la circunferencia.
Radio (a partir del área)	`r = √(A / π)`	Inversa de A = πr². Útil cuando se da el área.
Radio (a partir de la circunferencia)	`r = C / (2π)`	Inversa de C = 2πr. Común en mediciones del mundo real.
Área del sector	`A_s = ½ × r² × θ`	θ en radianes. Para grados: A_s = (θ°/360) × πr².
Longitud de arco	`L = r × θ`	θ en radianes. Para grados: L = (θ°/360) × 2πr.
Longitud de cuerda	`c = 2r × sin(θ/2)`	θ = ángulo central que subtiende la cuerda. Útil para figuras inscritas.
Área del segmento	`A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ)`	θ en radianes. La región entre una cuerda y el arco.
Ángulo inscrito	`∠inscribed = ½ × ∠central`	Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
Ecuación de un círculo	`(x − h)² + (y − k)² = r²`	Centro en (h, k), radio r. La forma estándar de geometría analítica.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Hallar área + circunferencia de un círculo con radio 5 cm

Area: A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²
Circumference (= perimeter): C = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm
Diameter: d = 2 × 5 = 10 cm

Ejemplo 2: Halla el radio a partir del área = 50 cm²

Start from A = π × r² → r² = A / π = 50 / π ≈ 15.915
r = √15.915 ≈ 3.99 cm
Then diameter = 2 × 3.99 ≈ 7.98 cm, and circumference = 2π × 3.99 ≈ 25.07 cm

Ejemplo 3: Halla el área cuando solo conoces el diámetro (d = 12 cm)

Use the diameter formula A = π × d² / 4
A = π × 12² / 4 = π × 144 / 4 = 36π
A ≈ 113.10 cm²

Ejemplo 4: Halla la longitud de arco y el área del sector para un sector de 60° en un círculo con r = 10 cm

Convert to radians: θ = 60° × (π/180) = π/3 ≈ 1.0472 rad
Arc length: L = r × θ = 10 × π/3 ≈ 10.47 cm
Sector area: A_s = ½ × r² × θ = ½ × 100 × π/3 ≈ 52.36 cm²
Cross-check via degrees: A_s = (60/360) × π × 10² = (1/6) × 100π ≈ 52.36 cm² ✓

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del área de un círculo?

El área de un círculo es A = π × r², donde r es el radio. Si solo conoces el diámetro d, usa la forma equivalente A = π × d² / 4. π (pi) es aproximadamente 3.14159.

¿Es el perímetro de un círculo lo mismo que su circunferencia?

Sí. Para un círculo, "perímetro" y "circunferencia" significan lo mismo: la distancia alrededor del exterior. Ambos equivalen a 2π × r (o π × d). La palabra "perímetro" es más común en los libros de texto escolares; "circunferencia" es el término técnico usado en geometría.

¿Cómo se halla el radio de un círculo a partir de la circunferencia?

Divide la circunferencia entre 2π: r = C / (2π). Por ejemplo, un círculo con circunferencia 31.42 cm tiene radio ≈ 31.42 / 6.2832 ≈ 5 cm.

¿Cómo se halla el área de un círculo a partir del diámetro?

Usa A = π × d² / 4. El diámetro se eleva al cuadrado, se multiplica por π y se divide entre 4. Alternativamente, divide el diámetro entre dos para obtener el radio y usa A = πr². Ambas fórmulas dan el mismo resultado.

¿Qué significa π (pi) en las fórmulas de círculos?

π es la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro (π = C/d ≈ 3.14159). Esta razón es idéntica para todos los círculos, sin importar su tamaño, por lo que toda fórmula de círculo contiene π.

¿Cómo se halla el área de un sector de un círculo?

Área del sector = (θ/360) × π × r² cuando θ es el ángulo central en grados, o A_s = ½ × r² × θ cuando θ está en radianes. Por ejemplo, un sector de 90° en un círculo de radio 4 tiene área = (90/360) × π × 16 = 4π ≈ 12.57.

Fórmulas del círculo