Sólidos + geometría analítica 3D: cosenos directores, rectas, planos
Revisado por [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Última actualización May 14, 2026
Geometría 3D abarca dos temas relacionados en los planes de estudio escolares estándar: (1) cuerpos sólidos — volúmenes y áreas superficiales de cubo, cilindro, esfera, cono, pirámide y prisma; y (2) geometría de coordenadas 3D (NCERT Clase 12 en India, equivalente a nivel A en otros lugares) — cosenos directores, rectas y planos en el espacio 3D. Esta página recopila todas las fórmulas que necesitas para ambos, con ejemplos resueltos.
| Nombre | Fórmula | Notas |
|---|---|---|
| Cubo — Volumen | V = s³ |
s = longitud de la arista. SA = 6s², diagonal d = s√3. |
| Prisma rectangular — Volumen | V = l × w × h |
SA = 2(lw + lh + wh); diagonal espacial d = √(l² + w² + h²). |
| Cilindro — Volumen | V = π × r² × h |
SA = 2πr(r + h); SA lateral = 2πrh. |
| Esfera — Volumen | V = (4/3) × π × r³ |
SA = 4πr². Única forma con un solo parámetro. |
| Cono — Volumen | V = (1/3) × π × r² × h |
Exactamente 1/3 del cilindro equivalente. Generatriz l = √(r²+h²); SA = πr(r + l). |
| Pirámide cuadrada — Volumen | V = (1/3) × b² × h |
b = lado de la base. 1/3 del cubo con la misma base + altura. |
| Distancia en 3D | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
Teorema de Pitágoras en 3D. Extensión de la fórmula de distancia en 2D. |
| Punto medio en 3D | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
Promedio componente a componente — exactamente la misma idea que en 2D. |
| Cosenos directores | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = ángulos que una recta forma con los ejes x, y, z. Identidad: l² + m² + n² = 1. |
| Razones directoras → Cosenos directores | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
Normalizar las razones directoras (a,b,c) para obtener el vector unitario (l,m,n). |
| Recta — Forma vectorial | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = vector de posición de un punto en la recta; ⃗b = vector director; λ = parámetro (cualquier real). |
| Recta — Forma cartesiana (simétrica) | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = punto en la recta; (a,b,c) = razones directoras. |
| Plano — Forma vectorial normal | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = vector normal; d = distancia desde el origen. |
| Plano — Forma cartesiana | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C) es el vector normal al plano. |
| Plano — Forma de intersección | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = intersecciones con los ejes x, y, z del plano. |
| Distancia de un punto a un plano | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
Punto (x₀, y₀, z₀); plano Ax+By+Cz+D=0. Análogo puramente 3D de la distancia de un punto a una recta. |
| Ángulo entre dos rectas | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
Producto escalar de los vectores directores, normalizado. θ ∈ [0°, 90°]. |
| Ángulo entre dos planos | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
Producto escalar de los vectores normales. Planos paralelos → θ = 0; perpendiculares → θ = 90°. |
| Rectas que se cruzan — Distancia mínima | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
El producto vectorial da la dirección perpendicular común; proyectar el vector de conexión sobre ella. |
Introduzca sus números y obtenga resultados paso a paso al instante.