立体図形 + 3D 座標幾何：方向余弦、直線、平面
[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator が監修 最終更新 May 14, 2026
3次元幾何学は、標準的な学校カリキュラムで2つの関連トピックを扱います：(1) 立体図形 — 立方体、円柱、球、円錐、角錐、角柱の体積と表面積；(2) 3次元座標幾何学（インドのNCERTクラス12、他国のAレベル相当）— 方向余弦、3次元空間における直線と平面。このページでは、両方に必要なすべての公式を、例題付きでまとめています。
| 名前 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 立方体 — 体積 | V = s³ |
s = 辺の長さ。表面積 SA = 6s²、対角線 d = s√3。 |
| 直方体 — 体積 | V = l × w × h |
表面積 SA = 2(lw + lh + wh)；空間対角線 d = √(l² + w² + h²)。 |
| 円柱 — 体積 | V = π × r² × h |
表面積 SA = 2πr(r + h)；側面積 = 2πrh。 |
| 球 — 体積 | V = (4/3) × π × r³ |
表面積 SA = 4πr²。唯一の1パラメータ図形。 |
| 円錐 — 体積 | V = (1/3) × π × r² × h |
等しい底面と高さを持つ円柱のちょうど1/3。母線 l = √(r²+h²)；表面積 SA = πr(r + l)。 |
| 正四角錐 — 体積 | V = (1/3) × b² × h |
b = 底面の辺の長さ。同じ底面と高さを持つ立方体の1/3。 |
| 3次元の距離 | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
3次元の三平方の定理。2次元の距離公式の拡張。 |
| 3次元の中点 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
成分ごとの平均 — 2次元とまったく同じ考え方。 |
| 方向余弦 | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = 直線がx軸、y軸、z軸となす角。恒等式：l² + m² + n² = 1。 |
| 方向比 → 方向余弦 | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
方向比 (a,b,c) を正規化して単位ベクトル (l,m,n) を得る。 |
| 直線 — ベクトル形式 | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = 直線上の点の位置ベクトル；⃗b = 方向ベクトル；λ = パラメータ（任意の実数）。 |
| 直線 — デカルト（対称）形式 | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = 直線上の点；(a,b,c) = 方向比。 |
| 平面 — ベクトル法線形式 | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = 法線ベクトル；d = 原点からの距離。 |
| 平面 — デカルト形式 | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C) は平面の法線ベクトル。 |
| 平面 — 切片形式 | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = 平面のx切片、y切片、z切片。 |
| 点から平面までの距離 | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
点 (x₀, y₀, z₀)；平面 Ax+By+Cz+D=0。点と直線の距離の純粋な3次元版。 |
| 2直線のなす角 | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
方向ベクトルの内積を正規化。θ ∈ [0°, 90°]。 |
| 2平面のなす角 | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
法線ベクトルの内積。平行な平面 → θ = 0；垂直 → θ = 90°。 |
| ねじれの位置 — 最短距離 | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
外積で共通垂線の方向を求め、連結ベクトルをそれに射影する。 |