입체 도형 + 3D 좌표 기하: 방향 코사인, 직선, 평면
[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator 검수 마지막 업데이트 May 14, 2026
3차원 기하학은 표준 학교 교육과정에서 두 가지 관련 주제를 다룹니다: (1) 입체 도형 — 정육면체, 원기둥, 구, 원뿔, 각뿔, 각기둥의 부피와 겉넓이; (2) 3차원 좌표 기하학 (인도 NCERT 12학년, 다른 지역의 A-레벨에 해당) — 방향 코사인, 3차원 공간에서의 직선과 평면. 이 페이지는 두 주제에 필요한 모든 공식을 예제와 함께 제공합니다.
| 이름 | 공식 | 비고 |
|---|---|---|
| 정육면체 — 부피 | V = s³ |
s = 모서리 길이. SA = 6s², 대각선 d = s√3. |
| 직육면체 — 부피 | V = l × w × h |
SA = 2(lw + lh + wh); 공간 대각선 d = √(l² + w² + h²). |
| 원기둥 — 부피 | V = π × r² × h |
SA = 2πr(r + h); 옆넓이 = 2πrh. |
| 구 — 부피 | V = (4/3) × π × r³ |
SA = 4πr². 하나의 매개변수만 있는 유일한 도형. |
| 원뿔 — 부피 | V = (1/3) × π × r² × h |
같은 밑면과 높이를 가진 원기둥 부피의 정확히 1/3. 모선 l = √(r²+h²); SA = πr(r + l). |
| 정사각뿔 — 부피 | V = (1/3) × b² × h |
b = 밑면 한 변. 같은 밑면과 높이를 가진 정육면체 부피의 1/3. |
| 3차원 거리 | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
3차원 피타고라스 정리. 2차원 거리 공식의 확장. |
| 3차원 중점 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
성분별 평균 — 2차원과 완전히 같은 개념. |
| 방향 코사인 | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = 직선이 x축, y축, z축과 이루는 각. 항등식: l² + m² + n² = 1. |
| 방향비 → 방향 코사인 | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
방향비 (a,b,c)를 정규화하여 단위 벡터 (l,m,n)을 구합니다. |
| 직선 — 벡터 형태 | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = 직선 위 한 점의 위치 벡터; ⃗b = 방향 벡터; λ = 매개변수 (임의의 실수). |
| 직선 — 데카르트 (대칭) 형태 | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = 직선 위의 점; (a,b,c) = 방향비. |
| 평면 — 법선 벡터 형태 | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = 법선 벡터; d = 원점으로부터의 거리. |
| 평면 — 데카르트 형태 | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C)는 평면의 법선 벡터입니다. |
| 평면 — 절편 형태 | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = 평면의 x절편, y절편, z절편. |
| 점과 평면 사이의 거리 | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
점 (x₀, y₀, z₀); 평면 Ax+By+Cz+D=0. 점과 직선 사이의 거리의 순수한 3차원 유사. |
| 두 직선 사이의 각 | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
방향 벡터의 내적, 정규화. θ ∈ [0°, 90°]. |
| 두 평면 사이의 각 | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
법선 벡터의 내적. 평행한 평면 → θ = 0; 수직인 평면 → θ = 90°. |
| 꼬인 위치 — 최단 거리 | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
외적이 공통 수직 방향을 제공합니다; 연결 벡터를 그 위로 투영합니다. |