삼각형 계산기

삼각형의 여섯 부분

모든 삼각형은 세 변(a, b, c로 표기)과 세 각(A, B, C)을 가지며, 각 꼭짓점의 각은 같은 문자로 표기된 변과 마주 보고 있습니다. 삼각형을 풀기 위해서는 적어도 세 가지 부분이 알려져 있어야 하며, 그중 적어도 하나는 변이어야 합니다(변이 없는 세 각만으로는 무한히 많은 닮은 삼각형이 정의되기 때문입니다).

두 가지 핵심 공식

모든 방법은 다음 두 관계식 중 하나로 귀결됩니다:

• 코사인 법칙: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). 두 변과 그 사이각이 주어졌을 때 한 변을 구하거나, 세 변이 모두 주어졌을 때 한 각을 구하는 데 사용합니다.
• 사인 법칙: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). 한 변과 그 마주 보는 각, 그리고 다른 한 각이 주어졌을 때 한 변을 구하는 데 사용합니다.

SSS — 세 변이 주어짐

입력: a, b, c. 출력: A, B, C, 넓이, 둘레.
솔버는 cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)를 계산한 후 arccos를 취해 C를 구하고, A 또는 B에 대해 반복한 뒤 마지막 각은 A + B + C = 180° 공식을 사용하여 구합니다. 헤론의 공식은 높이 없이 세 변만으로 넓이를 계산합니다.

예시: a = 5, b = 7, c = 9. cos(C) = (25 + 49 − 81) / 70 = −0.1 → C ≈ 95.74°. sin(A) / 5 = sin(95.74°) / 9 → A ≈ 33.56°. B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°. 넓이 = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) (여기서 s = 10.5) → 넓이 ≈ 17.41.

삼각형 부등식(각 변의 길이가 나머지 두 변의 길이 합보다 작음)이 성립한다면, SSS는 항상 유일한 삼각형을 제공합니다.

SAS — 두 변과 그 사이각이 주어짐

입력: 두 변과 그 사이각 (예: a, b, C).
코사인 법칙으로 세 번째 변을 구합니다: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). 그 후 사인 법칙으로 다른 한 각을 구하고, 세 번째 각은 180°에서 두 각의 합을 빼서 구합니다.

예시: a = 8, b = 10, C = 60°. c² = 64 + 100 − 160·cos(60°) = 84 → c ≈ 9.17. sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17 → A ≈ 49.11°. B = 70.89°.

ASA — 두 각과 그 사이변이 주어짐

입력: 두 각과 그 사이변 (예: A, B, c).
세 번째 각 = 180° − A − B. 그 후 나머지 각 변에 대해 사인 법칙을 적용합니다.

예시: A = 50°, B = 60°, c = 12. C = 70°. a = 12 × sin(50°) / sin(70°) ≈ 9.78. b ≈ 11.06.

AAS — 두 각과 사이변이 아닌 변이 주어짐

입력: 두 각과 그 중 하나에 마주 보는 변 (예: A, B, a). ASA와 동일하게: 세 번째 각을 계산한 후 사인 법칙을 적용합니다.

SSA — 모호한 경우

입력: 두 변과 그 중 하나에 마주 보는 각 (예: a, b, A — 하지만 각은 두 변 사이에 있지 않음).
이 경우만이 해가 없거나, 하나만 있거나, 두 개가 있을 수 있는 유일한 경우입니다. 솔버는 sin(B) = b × sin(A) / a를 확인합니다:

• sin(B) > 1인 경우 → 삼각형이 존재하지 않음 (변 b가 각 A에 비해 너무 김).
• sin(B) = 1인 경우 → 직각삼각형이 하나 존재 (B = 90°).
• sin(B) < 1인 경우 → 두 후보 B₁ = arcsin(...)와 B₂ = 180° − B₁가 있습니다. 각 경우에서 A + B < 180°라면 둘 다 유효한 삼각형입니다.

두 해를 갖는 예시: a = 6, b = 8, A = 35°. sin(B) ≈ 0.7648. B₁ ≈ 49.86° (예각), B₂ ≈ 130.14° (둔각). A + B₁ = 84.86°이고 A + B₂ = 165.14° — 둘 다 < 180°이므로 둘 다 유효한 삼각형입니다. 솔버는 예각인 경우를 기본 해로 반환하고, 둔각인 대안을 보여주는 "ambiguous_note" 결과를 함께 제공합니다.

자주 하는 실수

• 코사인 법칙이 필요한 상황에서 사인 법칙을 사용함. 사인 법칙은 알려진 변-각 쌍이 필요합니다. SSS 또는 SAS의 경우 코사인 법칙으로 시작해야 합니다.
• SSA의 두 번째 해를 잊어버림. 측정된 각을 가진 실제 문제에서는 모호한 영역에 해당할 수 있으므로, B₂ = 180° − B₁도 A + B₂ < 180°를 만족하는지 항상 확인해야 합니다.
• 라디안과 도의 혼동. 모든 예시는 도(degree) 모드를 가정합니다. 수동 계산 결과가 약 60배 차이 난다면 단위를 변환하지 않았기 때문입니다.
• 변과 각의 표기를 혼동함. 변 a는 각 A와 마주 보고, 변 b는 각 B와, 변 c는 각 C와 마주 봅니다. 손으로 그린 도표에서는 잘못된 쌍을 사용하는 경우가 있습니다.

다른 계산기를 사용해야 할 때

• 직각삼각형만 다룰 경우, 직각 이등변삼각형 계산기 또는 특수 직각삼각형 도구가 더 빠릅니다.
• 세 변만으로 넓이를 구해야 할 경우, 헤론의 공식 계산기는 각을 구하는 단계를 건너뜁니다.
• 좌표로 정의된 삼각형(꼭짓점이 (x,y) 점인 경우)에는 좌표기하학의 삼각형 페이지를 사용하십시오.
• 합동 증명(SSS/SAS/ASA/AAS/HL을 통해 두 삼각형이 일치하는지 검증)에는 합동 삼각형 계산기를 참조하십시오.

관련 개념

솔버는 또한 외접원 반지름 R = abc / (4·넓이) — 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 반지름 — 과 내접원 반지름 r = 넓이 / s (여기서 s = 반둘레)도 반환합니다. 세 높이 h_a = 2·넓이 / a (h_b, h_c도 유사)도 계산됩니다. 이러한 추가 정보는 삼각형을 빠르게 검증하는 데 도움이 됩니다: 공식 R = abc / (4·넓이)는 풀이 방법과 무관하므로, 자기 일관성 검사는 "두 방법으로 계산한 R이 동일한가?"가 됩니다.