三角形求解器

“解三角形”是指：已知三角形的六个部分（三条边 + 三个角）中的三个，求其余三个部分。无论已知的三个部分是 SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）还是 SSA（边边角），三角形求解器都会自动选择正确的公式。本教程将逐步解析每次点击背后的计算过程，让你了解哪些输入会产生唯一三角形，哪些会产生零个或两个解。

三角形的六个部分

每个三角形都有三条边（标记为 a, b, c）和三个角（A, B, C）——每个角都对着同字母的边。解三角形需要至少三个已知部分，且其中至少包含一条边（因为仅凭三个角而没有边，只能确定无穷多个相似三角形）。

两个核心公式

所有方法都归结为以下两种关系之一：

• 余弦定理：c² = a² + b² − 2ab·cos(C)。当已知两边及其夹角时，用于求第三边；或当已知三边时，用于求角。
• 正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。当已知一边、其对角以及另一个角时，用于求边。

SSS — 已知三边

输入： a, b, c。输出： A, B, C, 面积, 周长。
求解器计算 cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)，取反余弦得到 C，对 A 或 B 重复此步骤，最后利用 A + B + C = 180° 求出最后一个角。海伦公式仅凭三边即可求出面积——无需高度。

示例： a = 5, b = 7, c = 9。cos(C) = (25 + 49 − 81) / 70 = −0.1 → C ≈ 95.74°。sin(A) / 5 = sin(95.74°) / 9 → A ≈ 33.56°。B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°。面积 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = 10.5 → 面积 ≈ 17.41。

只要满足三角形不等式（每条边 < 另外两边之和），SSS 始终给出唯一三角形。

SAS — 已知两边及夹角

输入： 两边及其夹角（例如 a, b, C）。
余弦定理给出第三边：c² = a² + b² − 2ab·cos(C)。然后利用正弦定理求出其中一个角，第三个角为 180° 减去前两个角之和。

示例： a = 8, b = 10, C = 60°。c² = 64 + 100 − 160·cos(60°) = 84 → c ≈ 9.17。sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17 → A ≈ 49.11°。B = 70.89°。

ASA — 已知两角及夹边

输入： 两角及其夹边（例如 A, B, c）。
第三个角 = 180° − A − B。然后利用正弦定理求其余两边。

示例： A = 50°, B = 60°, c = 12。C = 70°。a = 12 × sin(50°) / sin(70°) ≈ 9.78。b ≈ 11.06。

AAS — 已知两角及非夹边

输入： 两角及其中一角的对边（例如 A, B, a）。与 ASA 相同：先计算第三个角，然后使用正弦定理。

SSA — 模糊情况

输入： 两边及其中一边的对角（例如 a, b, A，但该角不在两边之间）。
这是唯一可能产生 零个、一个或两个 有效三角形的情况。求解器检查 sin(B) = b × sin(A) / a：

• 如果 sin(B) > 1 → 不存在三角形（边 b 对于角 A 来说太长）。
• 如果 sin(B) = 1 → 一个直角三角形（B = 90°）。
• 如果 sin(B) < 1 → 两个候选值 B₁ = arcsin(...) 和 B₂ = 180° − B₁。如果每种情况下 A + B < 180°，则两者均有效。

有两个解的示例： a = 6, b = 8, A = 35°。sin(B) ≈ 0.7648。B₁ ≈ 49.86°（锐角），B₂ ≈ 130.14°（钝角）。A + B₁ = 84.86° 且 A + B₂ = 165.14° — 两者均 < 180°，因此都是有效三角形。求解器将锐角解作为主解返回，并附加一个显示钝角替代方案的“ambiguous_note”结果。

常见错误

• 在需要余弦定理时使用正弦定理。 正弦定理需要已知一对边和角。对于 SSS 或 SAS，必须从余弦定理开始。
• 忘记 SSA 的第二个解。 涉及测量角度的实际问题可能落入模糊区域；务必检查 B₂ = 180° − B₁ 是否也满足 A + B₂ < 180°。
• 弧度与角度。 所有示例均假设使用角度模式。如果你的手动答案偏差约 60 倍，那是忘记转换单位了。
• 混淆边和角的标记。 边 a 对角 A，边 b 对角 B，边 c 对角 C。手绘图有时会使用错误的配对。

何时使用其他计算器

• 仅针对直角三角形，等腰直角三角形计算器 或 特殊直角三角形 工具速度更快。
• 仅根据三边求面积时，海伦公式计算器 可跳过求角步骤。
• 对于由坐标定义的三角形（顶点在 (x,y) 点），请使用 坐标几何中的三角形 页面。
• 对于全等证明（通过 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 验证两个三角形全等），请参阅 全等三角形计算器。

相关概念

求解器还返回外接圆半径 R = abc / (4·面积) —— 经过所有三个顶点的圆的半径 —— 以及内切圆半径 r = 面积 / s，其中 s = 半周长。还计算三条高 h_a = 2·面积 / a（h_b, h_c 类似）。这些额外信息让你能快速验证三角形：公式 R = abc / (4·面积) 独立于求解方法，因此自洽性检查是“我是否通过两种方式得到了相同的 R？”