三角形ソルバー

「三角形を解く」とは、三角形の6つの要素（3辺＋3角）のうち3つが与えられたとき、残りの3つを求めることです。既知の3つがSSS（3辺）、SAS（2辺＋挟角）、ASA（2角＋挟辺）、AAS（2角＋対辺）、SSA（2辺＋対辺）のいずれであっても、三角形ソルバーは自動的に適切な公式を選択します。このチュートリアルでは、各クリックの背後で何が起こっているかを解説し、どの入力が一意の三角形を生成し、どの入力が0個または2個の解を生むのかを理解できるようにします。

三角形の6つの要素

すべての三角形には、3辺（a, b, cと表記）と3角（A, B, Cと表記）があります。各角は、同じ文字で表される辺と対向しています。三角形を解くには、少なくとも3つの既知の要素が必要であり、そのうち少なくとも1つは辺でなければなりません（辺がない3つの角だけでは、無限に多くの相似な三角形が定義されるため）。

2つの基本公式

すべての解法は、以下の2つの関係式のいずれかに帰着されます：

• 余弦定理: c² = a² + b² − 2ab·cos(C)。2辺とその挟角が与えられたときに1辺を求めたり、3辺が与えられたときに1角を求めたりします。
• 正弦定理: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。1辺とその対角、およびもう1つの角が与えられたときに1辺を求めます。

SSS — 3辺が与えられた場合

入力: a, b, c。 出力: A, B, C, 面積, 周長。
ソルバーは cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) を計算し、逆余弦（arccos）を取ってCを求め、AまたはBについても同様に繰り返します。最後に A + B + C = 180° を用いて最後の角を求めます。ヘロンの公式により、3辺のみから面積を計算できます（高さ不要）。

例: a = 5, b = 7, c = 9。 cos(C) = (25 + 49 − 81) / 70 = −0.1 → C ≈ 95.74°。 sin(A) / 5 = sin(95.74°) / 9 → A ≈ 33.56°。 B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°。 面積 = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) （ただし s = 10.5）→ 面積 ≈ 17.41。

三角形の不等式（各辺は他の2辺の和より小さい）が満たされる限り、SSSは常に一意の三角形を与えます。

SAS — 2辺＋挟角が与えられた場合

入力: 2辺とその間の角（例: a, b, C）。
余弦定理により3番目の辺が求まります: c² = a² + b² − 2ab·cos(C)。次に正弦定理により他の1つの角が求められ、3番目の角は 180° からその和を引いたものになります。

例: a = 8, b = 10, C = 60°。 c² = 64 + 100 − 160·cos(60°) = 84 → c ≈ 9.17。 sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17 → A ≈ 49.11°。 B = 70.89°。

ASA — 2角＋挟辺が与えられた場合

入力: 2角とその間の辺（例: A, B, c）。
3番目の角 = 180° − A − B。その後、残りの各辺について正弦定理を適用します。

例: A = 50°, B = 60°, c = 12。 C = 70°。 a = 12 × sin(50°) / sin(70°) ≈ 9.78。 b ≈ 11.06。

AAS — 2角＋非挟辺が与えられた場合

入力: 2角と、そのいずれかの対辺（例: A, B, a）。ASAと同じ手順：3番目の角を計算し、その後正弦定理を適用します。

SSA — 条件不足の場合（Ambiguous Case）

入力: 2辺とそのいずれかの対角（例: a, b, A — ただし角は2辺の間にはない）。
これは、0個、1個、または2個の有効な三角形を生じる可能性がある唯一の場合です。ソルバーは sin(B) = b × sin(A) / a をチェックします：

• sin(B) > 1 の場合 → 三角形は存在しません（辺bが角Aに対して長すぎる）。
• sin(B) = 1 の場合 → 直角三角形が1つ存在します（B = 90°）。
• sin(B) < 1 の場合 → 2つの候補 B₁ = arcsin(...) と B₂ = 180° − B₁ が得られます。それぞれの場合で A + B < 180° ならば、両方が有効な三角形となります。

2つの解を持つ例: a = 6, b = 8, A = 35°。 sin(B) ≈ 0.7648。 B₁ ≈ 49.86°（鋭角）、B₂ ≈ 130.14°（鈍角）。 A + B₁ = 84.86° および A + B₂ = 165.14° — どちらも 180° より小さいため、両方が有効な三角形です。ソルバーは鋭角側を主解として返し、「ambiguous_note」結果に鈍角側の代替解を付加します。

よくある間違い

• 余弦定理が必要な場面で正弦定理を使ってしまう。 正弦定理には既知の辺と角の対が必要です。SSSまたはSASの場合、余弦定理から始める必要があります。
• SSAの第2の解を忘れる。 測定された角を含む現実的な問題では条件不足の領域に陥ることがあり、B₂ = 180° − B₁ も A + B₂ < 180° を満たすかどうかを常に確認してください。
• ラジアンと度の混同。 すべての例は度（degree）モードを前提としています。手計算の答えが約60倍ずれている場合、変換を忘れています。
• 辺と角のラベルの混同。 辺aは角Aと対向し、辺bはB、辺cはCと対向します。手書きの図では、間違った組み合わせが使われることがあります。

別の計算機を使用すべき場合

• 直角三角形のみの場合、直角二等辺三角形計算機または特殊な直角三角形ツールの方が高速です。
• 3辺から面積のみを求める場合、ヘロンの公式計算機は角度を求める手順をスキップします。
• 座標で定義される三角形（頂点が (x,y) 点にある場合）には、座標幾何学における三角形ページを使用してください。
• 合同証明（SSS/SAS/ASA/AAS/HLにより2つの三角形が一致することを確認する場合）には、合同三角形計算機を参照してください。

関連概念

ソルバーはまた、外接半径 R = abc / (4·面積) — 3つの頂点をすべて通る円の半径 — と、内接半径 r = 面積 / s （ただし s = 半周長）も返します。3つの高さ h_a = 2·面積 / a （h_b, h_c も同様）も計算されます。これらの追加情報により、三角形を素早く検証できます。公式 R = abc / (4·面積) は解法方法に依存しないため、自己整合性チェックは「両方の方法で同じRが得られたか？」となります。