三角形の全公式を一カ所に — 面積、周長、角度、定理
[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator が監修 最終更新 May 14, 2026
三角形は幾何学の中で最も公式の多い図形です。面積だけでも、既知の情報に応じて6種類以上の公式があります。このページでは、学校で出会うすべての三角形の公式を、計算内容（面積、周長、角度、相似、合同）ごとに整理し、それぞれの条件を記載しています。数値が必要な場合は、関連する計算機をご利用ください。
| 名前 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 面積 — 底辺×高さ | A = ½ × b × h |
b = 底辺; h = その底辺に対する垂直な高さ。最も単純な形。 |
| 面積 — ヘロンの公式 | A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], s = (a+b+c)/2 |
3辺の長さが既知の場合。高さは不要です。詳細はヘロンの公式リファレンスをご覧ください。 |
| 面積 — SAS（2辺とその間の角） | A = ½ × a × b × sin(C) |
a, b = 2辺; C = その間の角。 |
| 面積 — 座標形式 | A = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| |
3つの頂点が座標で与えられた場合。 |
| 面積 — 内接円の半径 | A = r × s |
r = 内接円の半径; s = 半周長。逆に: r = A / s。 |
| 面積 — 外接円の半径 | A = (a × b × c) / (4R) |
R = 外接円の半径。逆に: R = abc / (4A)。 |
| 周 | P = a + b + c |
3辺の和。正三角形: P = 3a。 |
| 内角の和 | ∠A + ∠B + ∠C = 180° |
任意の三角形の内角の和は180°である。 |
| 外角の定理 | ext = sum of 2 opposite interior angles |
外角は、それに隣接しない2つの内角の和に等しい。 |
| ピタゴラスの定理 | a² + b² = c² |
直角三角形のみ。cは斜辺（直角の対辺）です。詳細は三平方の定理リファレンスをご覧ください。 |
| 30-60-90 三角形 | sides ratio 1 : √3 : 2 |
短辺 : 長辺 : 斜辺 = 30°, 60°, 90°のそれぞれの対辺の比。導出と例は特殊な直角三角形のページをご覧ください。 |
| 45-45-90 三角形 | sides ratio 1 : 1 : √2 |
二等辺直角三角形。2辺の長さは等しく、斜辺 = 1辺 × √2 です。導出と例は特殊な直角三角形のページをご覧ください。 |
| 正弦定理 | a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R |
任意の三角形に使用可。ASA、AAS、SSAの構成に最適。 |
| 余弦定理 | c² = a² + b² − 2ab × cos(C) |
任意の三角形に使用可。SSS（角を求める）またはSAS（第三辺を求める）に最適。ピタゴラスの定理を一般化（C = 90°のときcos C = 0）。 |
| 相似 — AA | two pairs of equal angles → similar |
2組の対応する角が等しければ、3組すべて等しく（内角の和）、三角形は相似である。 |
| 相似比 | k = corresponding sides ratio |
相似な三角形では、辺はk倍、面積はk²倍、体積（立体に拡張した場合）はk³倍になる。 |
| 合同条件 | SSS, SAS, ASA, AAS, HL |
三角形が合同（形と大きさが同じ）になるのは、次の5つの条件のいずれかが成り立つ場合である。HLは直角三角形のみ。 |
| 正三角形 — 全公式 | A = (√3/4)·a², h = (√3/2)·a, P = 3a |
3辺の長さがすべて a の場合。高さは底辺を二等分し、また中線、角の二等分線、垂線としても機能します。詳細は正三角形リファレンスをご覧ください。 |