Solucionador de triângulos

"Resolver um triângulo" significa: dados três das seis partes de um triângulo (três lados + três ângulos), encontrar as outras três. Independentemente de seus três dados conhecidos serem LLL / LAL / ALA / AAL / AAL (caso ambíguo), o Resolvedor de Triângulos escolhe automaticamente a fórmula correta. Este tutorial mostra o que acontece por trás de cada clique, para que você saiba quais entradas produzem um triângulo único e quais produzem zero ou duas soluções.

As seis partes de um triângulo

Todo triângulo tem três lados (rotulados a, b, c) e três ângulos (A, B, C) — cada ângulo é oposto ao lado da mesma letra. Resolver um triângulo requer pelo menos três partes conhecidas, com pelo menos um sendo um lado (porque três ângulos sem nenhum lado definem infinitos triângulos semelhantes).

As duas fórmulas principais

Todo método se reduz a uma de duas relações:

• Lei dos Cossenos: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Resolve para um lado quando você tem dois lados e o ângulo incluído, ou resolve para um ângulo quando você tem os três lados.
• Lei dos Senos: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Resolve para um lado quando você tem um lado, seu ângulo oposto e mais um ângulo.

LLL — três lados dados

Entradas: a, b, c. Saídas: A, B, C, área, perímetro.
O resolvedor calcula cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), usa arccos para obter C, repete para A ou B, e então usa A + B + C = 180° para o último. A Fórmula de Heron dá a área a partir apenas dos três lados — sem necessidade de altura.

Exemplo: a = 5, b = 7, c = 9. cos(C) = (25 + 49 − 81) / 70 = −0.1 → C ≈ 95,74°. sin(A) / 5 = sin(95,74°) / 9 → A ≈ 33,56°. B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. Área = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) onde s = 10,5 → Área ≈ 17,41.

LLL sempre produz um triângulo único, desde que a desigualdade triangular seja satisfeita (cada lado < soma dos outros dois).

LAL — dois lados + ângulo incluído

Entradas: dois lados e o ângulo entre eles (por exemplo, a, b, C).
A Lei dos Cossenos dá o terceiro lado: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Então a Lei dos Senos dá um dos outros ângulos, e o terceiro é 180° menos a soma.

Exemplo: a = 8, b = 10, C = 60°. c² = 64 + 100 − 160·cos(60°) = 84 → c ≈ 9,17. sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17 → A ≈ 49,11°. B = 70,89°.

ALA — dois ângulos + lado incluído

Entradas: dois ângulos + o lado entre eles (por exemplo, A, B, c).
Terceiro ângulo = 180° − A − B. Então Lei dos Senos para cada lado restante.

Exemplo: A = 50°, B = 60°, c = 12. C = 70°. a = 12 × sin(50°) / sin(70°) ≈ 9,78. b ≈ 11,06.

AAL — dois ângulos + lado não incluído

Entradas: dois ângulos e um lado oposto a um deles (por exemplo, A, B, a). Igual ao ALA: calcular o terceiro ângulo, depois Lei dos Senos.

AAL (caso ambíguo) — dois lados + ângulo oposto

Entradas: dois lados + um ângulo oposto a um deles (por exemplo, a, b, A — mas o ângulo não está entre os dois lados).
Este é o único caso que pode produzir zero, um ou dois triângulos válidos. O resolvedor verifica sin(B) = b × sin(A) / a:

• Se sin(B) > 1 → não existe triângulo (lado b muito longo para o ângulo A).
• Se sin(B) = 1 → um triângulo retângulo (B = 90°).
• Se sin(B) < 1 → dois candidatos B₁ = arcsin(...) e B₂ = 180° − B₁. Ambos são válidos se A + B<180° em cada caso.

Exemplo com duas soluções: a = 6, b = 8, A = 35°. sin(B) ≈ 0,7648. B₁ ≈ 49,86° (agudo), B₂ ≈ 130,14° (obtusso). A + B₁ = 84,86° e A + B₂ = 165,14° — ambos < 180°, então ambos são triângulos válidos. O resolvedor retorna o agudo como principal e anexa um resultado "ambiguous_note" mostrando a alternativa obtusa.

Erros comuns

• Usar a Lei dos Senos quando a Lei dos Cossenos é necessária. A Lei dos Senos requer um par lado-ângulo conhecido. Para LLL ou LAL você deve começar com a Lei dos Cossenos.
• Esquecer a segunda solução do caso AAL ambíguo. Problemas do mundo real com ângulos medidos podem cair na zona ambígua; sempre verifique se B₂ = 180° − B₁ também satisfaz A + B₂ < 180°.
• Radianos vs graus. Todos os exemplos assumem o modo de graus. Se sua resposta manual estiver errada por um fator de ~60, você esqueceu de converter.
• Confundir rótulos de lado e ângulo. O lado a é oposto ao ângulo A, o lado b ao B, o lado c ao C. Diagramos desenhados à mão às vezes usam o pareamento errado.

Quando usar uma calculadora diferente

• Para triângulos retângulos apenas, a Calculadora de Triângulo Retângulo Isósceles ou a ferramenta Triângulos Retângulos Especiais é mais rápida.
• Para apenas a área a partir de três lados, a Calculadora da Fórmula de Heron pula a etapa de encontrar os ângulos.
• Para triângulos definidos por coordenadas (vértices em pontos (x,y)), use a página Triângulo em Geometria Analítica.
• Para provas de congruência (verificar se dois triângulos coincidem via LLL/LAL/ALA/AAL/HL), veja a Calculadora de Triângulos Congruentes.

Conceitos relacionados

O resolvedor também retorna o raio da circunferência circunscrita R = abc / (4·área) — o raio do círculo que passa pelos três vértices — e o raio da circunferência inscrita r = área / s onde s = semiperímetro. As três alturas h_a = 2·área / a (similar para h_b, h_c) também são calculadas. Esses extras permitem verificar o triângulo rapidamente: a fórmula R = abc / (4·área) é independente do método de resolução, então uma verificação de consistência própria é "eu obtive o mesmo R das duas formas?".