Solveur de triangles

« Résoudre un triangle » signifie : étant donnés trois des six éléments d'un triangle (trois côtés + trois angles), trouver les trois autres. Que vos trois données soient SSS / SAS / ASA / AAS / SSA, le Résolveur de Triangle choisit automatiquement la bonne formule. Ce tutoriel explique ce qui se passe derrière chaque clic, afin que vous sachiez quelles entrées produisent un triangle unique et lesquelles produisent zéro ou deux solutions.

Les six éléments d'un triangle

Tout triangle possède trois côtés (étiquetés a, b, c) et trois angles (A, B, C) — chaque angle étant opposé au côté portant la même lettre. Résoudre un triangle nécessite au moins trois éléments connus, dont au moins un côté (car trois angles sans aucun côté définissent une infinité de triangles semblables).

Les deux formules maîtresses

Toute méthode se réduit à l'une des deux relations suivantes :

• Loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Permet de calculer un côté lorsque l'on connaît deux côtés et l'angle inclus, ou un angle lorsque l'on connaît les trois côtés.
• Loi des sinus : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Permet de calculer un côté lorsque l'on connaît un côté, son angle opposé et un angle supplémentaire.

SSS — trois côtés donnés

Entrées : a, b, c. Sorties : A, B, C, aire, périmètre.
Le résolveur calcule cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), prend l'arccos pour obtenir C, répète l'opération pour A ou B, puis utilise A + B + C = 180° pour le dernier. La formule de Héron donne l'aire à partir des seuls trois côtés — aucune hauteur n'est nécessaire.

Exemple : a = 5, b = 7, c = 9. cos(C) = (25 + 49 − 81) / 70 = −0.1 → C ≈ 95,74°. sin(A) / 5 = sin(95,74°) / 9 → A ≈ 33,56°. B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. Aire = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) avec s = 10,5 → Aire ≈ 17,41.

Le cas SSS donne toujours un triangle unique à condition que l'inégalité triangulaire soit respectée (chaque côté est inférieur à la somme des deux autres).

SAS — deux côtés + angle inclus

Entrées : deux côtés et l'angle compris entre eux (par ex. a, b, C).
La loi des cosinus donne le troisième côté : c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Ensuite, la loi des sinus donne l'un des autres angles, et le troisième est 180° moins la somme des deux premiers.

Exemple : a = 8, b = 10, C = 60°. c² = 64 + 100 − 160·cos(60°) = 84 → c ≈ 9,17. sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17 → A ≈ 49,11°. B = 70,89°.

ASA — deux angles + côté inclus

Entrées : deux angles + le côté entre eux (par ex. A, B, c).
Troisième angle = 180° − A − B. Puis loi des sinus pour chaque côté restant.

Exemple : A = 50°, B = 60°, c = 12. C = 70°. a = 12 × sin(50°) / sin(70°) ≈ 9,78. b ≈ 11,06.

AAS — deux angles + côté non inclus

Entrées : deux angles et un côté opposé à l'un d'eux (par ex. A, B, a). Identique au cas ASA : calculer le troisième angle, puis appliquer la loi des sinus.

SSA — le cas ambigu

Entrées : deux côtés + un angle opposé à l'un d'eux (par ex. a, b, A — mais l'angle n'est pas compris entre les deux côtés).
C'est le seul cas pouvant produire zéro, un ou deux triangles valides. Le résolveur vérifie sin(B) = b × sin(A) / a :

• Si sin(B) > 1 → aucun triangle n'existe (le côté b est trop long pour l'angle A).
• Si sin(B) = 1 → un seul triangle rectangle (B = 90°).
• Si sin(B) < 1 → deux candidats B₁ = arcsin(...) et B₂ = 180° − B₁. Les deux sont valides si A + B<180° dans chaque cas.

Exemple avec deux solutions : a = 6, b = 8, A = 35°. sin(B) ≈ 0,7648. B₁ ≈ 49,86° (aigu), B₂ ≈ 130,14° (obtus). A + B₁ = 84,86° et A + B₂ = 165,14° — tous deux < 180°, donc les deux sont des triangles valides. Le résolveur renvoie l'angle aigu comme solution principale et joint une note « ambiguous_note » indiquant l'alternative obtuse.

Erreurs courantes

• Utiliser la loi des sinus alors que la loi des cosinus est nécessaire. La loi des sinus nécessite une paire côté-angle connue. Pour les cas SSS ou SAS, vous devez commencer par la loi des cosinus.
• Oublier la deuxième solution du cas SSA. Les problèmes réels avec des angles mesurés peuvent tomber dans la zone ambiguë ; vérifiez toujours si B₂ = 180° − B₁ satisfait également A + B₂ < 180°.
• Radians vs degrés. Tous les exemples supposent le mode degrés. Si votre réponse manuelle est fausse d'un facteur d'environ 60, vous avez oublié de convertir.
• Mélanger les étiquettes côté-angle. Le côté a est opposé à l'angle A, le côté b à B, le côté c à C. Les diagrammes dessinés à la main utilisent parfois le mauvais appariement.

Quand utiliser une autre calculatrice

• Pour les triangles rectangles uniquement, la Calculatrice de Triangle Rectangle Isocèle ou l'outil Triangles Droits Particuliers est plus rapide.
• Pour calculer uniquement l'aire à partir de trois côtés, la Calculatrice de la Formule de Héron saute l'étape de recherche des angles.
• Pour les triangles définis par coordonnées (sommets aux points (x,y)), utilisez la page Triangle en Géométrie Analytique.
• Pour les preuves de congruence (vérifier que deux triangles correspondent via SSS/SAS/ASA/AAS/HL), consultez la Calculatrice de Triangle Congruent.

Concepts associés

Le résolveur renvoie également le rayon du cercle circonscrit R = abc / (4·aire) — le rayon du cercle passant par les trois sommets — et le rayon du cercle inscrit r = aire / s où s = demi-périmètre. Les trois hauteurs h_a = 2·aire / a (similaire pour h_b, h_c) sont également calculées. Ces données supplémentaires permettent de vérifier rapidement le triangle : la formule R = abc / (4·aire) est indépendante de la méthode de résolution, donc une vérification de cohérence interne consiste à se demander : « ai-je obtenu la même valeur de R des deux manières ? ».