Formule de la division d'un segment

Trouver le point qui divise un segment selon un rapport donné m:n

Vérifié par [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Dernière mise à jour May 12, 2026

La formule de section donne les coordonnées d'un point qui divise un segment AB dans un rapport m:n. La division interne place le point entre A et B ; la division externe le place à l'extérieur du segment sur le prolongement de AB. La formule du milieu est simplement le cas particulier m = n = 1.

Les formules

Nom Formule Notes
Division interne (2D) P = ((m·x₂ + n·x₁) / (m + n), (m·y₂ + n·y₁) / (m + n)) P divise A(x₁, y₁) → B(x₂, y₂) intérieurement dans le rapport m:n. P se situe entre A et B.
Division externe (2D) P = ((m·x₂ − n·x₁) / (m − n), (m·y₂ − n·y₁) / (m − n)) P se trouve sur le prolongement de AB au-delà de B (ou au-delà de A si m < n). m ≠ n.
Formule du point milieu M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) Cas particulier m = n = 1 de la formule de section interne.
Centroïde du triangle G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) Le centroïde divise chaque médiane dans le rapport 2:1. Moyenne des trois sommets.
Formule de section (3D) P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n), (mz₂+nz₁)/(m+n)) Même logique en trois dimensions — ajouter la coordonnée z.
Rapport à partir des coordonnées k = AP / PB = (x − x₁) / (x₂ − x) Inverse : étant donné le point de division, trouver le rapport. La même formule fonctionne pour y.

Exemples résolus

Exemple 1 : Division interne de A(2, 3) et B(8, 9) dans le rapport 2:1

  1. x = (2·8 + 1·2) / (2 + 1) = 18 / 3 = 6
  2. y = (2·9 + 1·3) / (2 + 1) = 21 / 3 = 7
  3. P = (6, 7)

Exemple 2 : Division externe de A(1, 2) et B(4, 8) dans le rapport 3:1

  1. x = (3·4 − 1·1) / (3 − 1) = 11 / 2 = 5.5
  2. y = (3·8 − 1·2) / (3 − 1) = 22 / 2 = 11
  3. P = (5.5, 11) — on AB extended beyond B

Exemple 3 : Milieu de A(−2, 4) et B(6, −2)

  1. M = ((−2 + 6)/2, (4 + (−2))/2)
  2. M = (4/2, 2/2) = (2, 1)

Questions fréquemment posées

Quelle est la formule de section ?
La formule de section donne les coordonnées d'un point P qui divise un segment AB dans un rapport m:n. Pour la division interne : P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n)). La formule du milieu est le cas particulier m = n = 1.
Qu'est-ce que la division interne vs externe ?
La division interne place P entre A et B (m et n tous deux positifs). La division externe place P en dehors du segment, sur le prolongement de AB. Pour la division externe, la formule utilise une soustraction : P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m−n), …).
Comment trouver le centre de gravité d'un triangle ?
Le centre de gravité G est la moyenne des trois sommets : G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Il divise chaque médiane dans un rapport 2:1 mesuré à partir du sommet, ce que confirme la formule de section.
La formule de section peut-elle trouver le rapport étant donné le point ?
Oui — réarrangez pour obtenir k = AP/PB = (x − x₁)/(x₂ − x). La même formule fonctionne pour la coordonnée y ; les deux doivent donner le même k si P se trouve effectivement sur le segment AB.
Cela fonctionne-t-il en 3D ?
Oui — il suffit d'ajouter la coordonnée z en utilisant la même logique : P_z = (m·z₂ + n·z₁)/(m+n). Tout le reste est identique.

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