内分・外分の公式

線分を指定された比 m:n で分ける点を求める

[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator が監修 最終更新 May 12, 2026

内分点の公式は、線分ABを特定の比m:nに分ける点の座標を与えます。内分は点をAとBの間に置き、外分は線分の延長上に外側に置きます。中点の公式は、m = n = 1の特別な場合です。

公式

名前 公式 備考
内分（2次元） P = ((m·x₂ + n·x₁) / (m + n), (m·y₂ + n·y₁) / (m + n)) PはA(x₁, y₁)とB(x₂, y₂)を結ぶ線分をm:nに内分する。PはAとBの間にある。
外分（2次元） P = ((m·x₂ − n·x₁) / (m − n), (m·y₂ − n·y₁) / (m − n)) PはABの延長線上にあり、Bの外側（またはm < nの場合はAの外側）にある。m ≠ n。
中点の公式 M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) 内分点の公式の特別な場合 m = n = 1。
三角形の重心 G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) 重心は各中線を2:1に分ける。3つの頂点の平均。
分点の公式（3次元） P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n), (mz₂+nz₁)/(m+n)) 3次元でも同じ論理 — z座標を追加する。
座標から比を求める k = AP / PB = (x − x₁) / (x₂ − x) 逆：分点が与えられたとき、比を求める。yについても同じ公式が成り立つ。

例題

例題 1：A(2, 3)とB(8, 9)を2:1に内分

  1. x = (2·8 + 1·2) / (2 + 1) = 18 / 3 = 6
  2. y = (2·9 + 1·3) / (2 + 1) = 21 / 3 = 7
  3. P = (6, 7)

例題 2：A(1, 2)とB(4, 8)を3:1に外分

  1. x = (3·4 − 1·1) / (3 − 1) = 11 / 2 = 5.5
  2. y = (3·8 − 1·2) / (3 − 1) = 22 / 2 = 11
  3. P = (5.5, 11) — on AB extended beyond B

例題 3：A(−2, 4)とB(6, −2)の中点

  1. M = ((−2 + 6)/2, (4 + (−2))/2)
  2. M = (4/2, 2/2) = (2, 1)

よくある質問

内分点の公式とは何ですか？
内分点の公式は、線分ABをm:nの比に分ける点Pの座標を求めます。内分の場合：P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n))。中点の公式はm = n = 1の特別な場合です。
内分と外分の違いは何ですか？
内分ではPはAとBの間にあり（mとnはともに正）、外分ではPは線分の外側、ABの延長線上にあります。外分の公式では引き算を使います：P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m−n), …)。
三角形の重心はどうやって求めますか？
重心Gは3つの頂点の平均です：G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)。重心は各中線を頂点から2:1の比に分けますが、これは内分点の公式で確認できます。
内分点の公式を使って、点から比を求めることはできますか？
はい — 式を変形してk = AP/PB = (x − x₁)/(x₂ − x)とします。y座標についても同様の式が成り立ち、Pが実際に線分AB上にあれば、どちらも同じkを与えます。
3次元でも使えますか？
はい — 同じ考え方でz座標を追加します：P_z = (m·z₂ + n·z₁)/(m+n)。その他はすべて同じです。

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