Solides + géométrie analytique 3D : cosinus directeurs, droites, plans
Vérifié par [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Dernière mise à jour May 14, 2026
Géométrie 3D couvre deux sujets liés dans les programmes scolaires standards : (1) solides — volumes et aires de cube, cylindre, sphère, cône, pyramide et prisme ; et (2) géométrie analytique 3D (NCERT Classe 12 en Inde, équivalent A-level ailleurs) — cosinus directeurs, droites et plans dans l'espace. Cette page rassemble toutes les formules nécessaires pour les deux, avec des exemples résolus.
| Nom | Formule | Notes |
|---|---|---|
| Cube — Volume | V = s³ |
s = longueur d'arête. SA = 6s², diagonale d = s√3. |
| Prisme rectangulaire — Volume | V = l × w × h |
SA = 2(lw + lh + wh) ; diagonale d = √(l² + w² + h²). |
| Cylindre — Volume | V = π × r² × h |
SA = 2πr(r + h) ; SA latérale = 2πrh. |
| Sphère — Volume | V = (4/3) × π × r³ |
SA = 4πr². Seule forme avec un seul paramètre. |
| Cône — Volume | V = (1/3) × π × r² × h |
Exactement 1/3 du cylindre équivalent. Génératrice l = √(r²+h²) ; SA = πr(r + l). |
| Pyramide à base carrée — Volume | V = (1/3) × b² × h |
b = côté de la base. 1/3 du cube de même base et hauteur. |
| Distance dans l'espace | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
Théorème de Pythagore en 3D. Extension de la formule de distance en 2D. |
| Milieu dans l'espace | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
Moyenne composante par composante — exactement la même idée qu'en 2D. |
| Cosinus directeurs | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = angles que fait une droite avec les axes x, y, z. Identité : l² + m² + n² = 1. |
| Rapports directeurs → Cosinus directeurs | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
Normaliser les rapports directeurs (a,b,c) pour obtenir le vecteur unitaire (l,m,n). |
| Droite — Forme vectorielle | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = vecteur position d'un point sur la droite ; ⃗b = vecteur directeur ; λ = paramètre (réel quelconque). |
| Droite — Forme cartésienne (symétrique) | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = point sur la droite ; (a,b,c) = rapports directeurs. |
| Plan — Forme vectorielle normale | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = vecteur normal ; d = distance à l'origine. |
| Plan — Forme cartésienne | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C) est le vecteur normal au plan. |
| Plan — Forme interceptée | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = intersections du plan avec les axes x, y, z. |
| Distance d'un point à un plan | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
Point (x₀, y₀, z₀) ; plan Ax+By+Cz+D=0. Analogie 3D pure de la distance point-droite. |
| Angle entre deux droites | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
Produit scalaire des vecteurs directeurs, normalisé. θ ∈ [0°, 90°]. |
| Angle entre deux plans | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
Produit scalaire des vecteurs normaux. Plans parallèles → θ = 0 ; perpendiculaires → θ = 90°. |
| Droites gauches — Distance minimale | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
Le produit vectoriel donne la direction perpendiculaire commune ; projeter le vecteur reliant les droites sur celle-ci. |
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