Korper + 3D-Koordinatengeometrie: Richtungskosinus, Geraden, Ebenen
Geprüft von [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Zuletzt aktualisiert am May 14, 2026
3D-Geometrie umfasst zwei verwandte Themen in den Standardlehrplänen der Schulen: (1) Körperformen — Volumen und Oberflächen von Würfel, Zylinder, Kugel, Kegel, Pyramide und Prisma; und (2) 3D-Koordinatengeometrie (NCERT Klasse 12 in Indien, A-Level-Äquivalent anderswo) — Richtungskosinusse, Geraden und Ebenen im 3D-Raum. Diese Seite enthält alle Formeln, die Sie für beide benötigen, mit durchgerechneten Beispielen.
| Name | Formel | Hinweise |
|---|---|---|
| Würfel — Volumen | V = s³ |
s = Kantenlänge. SA = 6s², Diagonale d = s√3. |
| Quader — Volumen | V = l × w × h |
SA = 2(lw + lh + wh); Raumdiagonale d = √(l² + w² + h²). |
| Zylinder — Volumen | V = π × r² × h |
SA = 2πr(r + h); Mantelfläche SA = 2πrh. |
| Kugel — Volumen | V = (4/3) × π × r³ |
SA = 4πr². Einzige Form mit einem Parameter. |
| Kegel — Volumen | V = (1/3) × π × r² × h |
Genau 1/3 des entsprechenden Zylinders. Mantellinie l = √(r²+h²); SA = πr(r + l). |
| Quadratische Pyramide — Volumen | V = (1/3) × b² × h |
b = Grundseite. 1/3 des Würfels mit gleicher Grundfläche + Höhe. |
| Abstand im 3D | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
3D-Pythagoras. Erweiterung der 2D-Abstandsformel. |
| Mittelpunkt im 3D | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
Komponentenweiser Mittelwert — genau die gleiche Idee wie im 2D. |
| Richtungskosinusse | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = Winkel, die eine Gerade mit der x-, y-, z-Achse bildet. Identität: l² + m² + n² = 1. |
| Richtungsverhältnisse → Richtungskosinusse | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
Normalisieren Sie die Richtungsverhältnisse (a,b,c), um den Einheitsvektor (l,m,n) zu erhalten. |
| Gerade — Vektorform | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden; ⃗b = Richtungsvektor; λ = Parameter (beliebig reell). |
| Gerade — Kartesische (symmetrische) Form | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = Punkt auf der Geraden; (a,b,c) = Richtungsverhältnisse. |
| Ebene — Vektor-Normalenform | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = Normalenvektor; d = Abstand vom Ursprung. |
| Ebene — Kartesische Form | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C) ist der Normalenvektor zur Ebene. |
| Ebene — Achsenabschnittsform | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = x-, y-, z-Achsenabschnitte der Ebene. |
| Abstand von Punkt zu Ebene | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
Punkt (x₀, y₀, z₀); Ebene Ax+By+Cz+D=0. Reines 3D-Analogon zum Punkt-Gerade-Abstand. |
| Winkel zwischen zwei Geraden | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
Skalarprodukt der Richtungsvektoren, normiert. θ ∈ [0°, 90°]. |
| Winkel zwischen zwei Ebenen | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
Skalarprodukt der Normalenvektoren. Parallele Ebenen → θ = 0; senkrechte → θ = 90°. |
| Windschiefe Geraden — kürzester Abstand | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
Kreuzprodukt ergibt gemeinsame Senkrechte; projizieren Sie den Verbindungsvektor darauf. |
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