Alle wesentlichen Formeln für 2D-Formen, 3D-Körper und Koordinatengeometrie — nach Kategorien geordnet, jede Formel mit Ein-Klick-Zugriff auf einen kostenlosen Rechner. 54+ Formeln, keine Anmeldung erforderlich.
Geometrie basiert auf einer kleinen Kernformelmenge, die Sie immer wieder nutzen. Am häufigsten gesucht: Fläche, Umfang, Volumen und Oberfläche der Standardformen — plus Satz des Pythagoras, Distanz- und Mittelpunktformeln und die Polygon-Innenwinkelsumme (n − 2) × 180°. Merken Sie sich diese und Sie decken etwa 80% aller Geometrieaufgaben in der Oberstufe ab.
Unten finden Sie eine vollständige Referenz von 54+ Formeln nach Kategorien geordnet. Jeder Eintrag enthält die Formel selbst, eine einzeilige Erklärung und einen direkten Link zu einem kostenlosen Rechner. Keine Anmeldung, keine Bezahlschranke.
Egal ob du nach allen Gleichungen fur Geometrie, den Formeln geometrischer Figuren, spezifischen Flachenformeln fur Geometrie oder einfach den Grundlagen-Geometrieformeln suchst — jede wesentliche Gleichung findest du in einem der Abschnitte unten. Von 2D-Formen (Kreise, Dreiecke, Polygone, Vierecke) uber 3D-Korper (Wurfel, Zylinder, Kugel, Kegel, Pyramide) bis zur Koordinatengeometrie (Distanz, Mittelpunkt, Steigung) — die eine Referenz, die du fur das ganze Schuljahr als Lesezeichen speicherst.
Die häufigsten Geometrieformeln — Fläche, Umfang, Pythagoras, Sinus-/Kosinussatz und Heron-Formel.
| Formel | Gleichung | Hinweise | Berechnen |
|---|---|---|---|
| Dreiecksumfang | P = a + b + c |
Summe aller drei Seiten. | Verwenden |
| Dreiecksfläche (Basis × Höhe) | A = ½ × b × h |
b = Basis, h = senkrechte Höhe zu dieser Basis. | Verwenden |
| Heron-Formel | A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) |
s = (a+b+c)/2 (Halbumfang). Verwenden, wenn nur die 3 Seiten bekannt sind. | Verwenden |
| Satz des Pythagoras | a² + b² = c² |
Nur für rechtwinklige Dreiecke — c ist die Hypotenuse. | Verwenden |
| Kosinussatz | c² = a² + b² − 2ab·cos(C) |
Verallgemeinert Pythagoras auf jedes Dreieck. | Verwenden |
| Sinussatz | a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) |
Für ASA-, AAS- oder SSA-Dreiecke verwenden. | Verwenden |
| 45-45-90 Dreieck | sides = 1 : 1 : √2 |
Rechtwinklig gleichschenklig — Hypotenuse = Schenkel × √2. | Verwenden |
| 30-60-90 Dreieck | sides = 1 : √3 : 2 |
Spezielles rechtwinkliges Dreieck — lange Kathete = kurze × √3. | Verwenden |
| Verhältnis ähnlicher Dreiecke | side'/side = scale factor k |
Alle entsprechenden Seiten stehen im selben Verhältnis k. | Verwenden |
Quadrat, Rechteck, Rhombus, Parallelogramm, Trapez — alle Flächen- und Umfangsformeln für Vierecke.
| Formel | Gleichung | Hinweise | Berechnen |
|---|---|---|---|
| Quadratfläche | A = s² |
s = Seitenlänge. | Verwenden |
| Quadratumfang | P = 4s |
Verwenden | |
| Rechteckfläche | A = l × w |
l = Länge, w = Breite. | Verwenden |
| Rechteckumfang | P = 2(l + w) |
Verwenden | |
| Parallelogrammfläche | A = b × h |
b = Basis, h = senkrechte Höhe (NICHT die schräge Seite). | Verwenden |
| Parallelogrammumfang | P = 2(a + b) |
a, b = die beiden unterschiedlichen Seitenlängen. | Verwenden |
| Rhombusfläche | A = ½ × d₁ × d₂ |
d₁, d₂ = die beiden Diagonalen. | Verwenden |
| Trapezfläche | A = ½ × (b₁ + b₂) × h |
b₁, b₂ = parallele Basen, h = senkrechte Höhe. | Verwenden |
| Mittellinie des Trapezes | m = (b₁ + b₂) / 2 |
Mittelwert der beiden parallelen Basen. | Verwenden |
Fläche, Umfang, Sektor, Bogenlänge — jede Kreisberechnung aus π und Radius hergeleitet.
| Formel | Gleichung | Hinweise | Berechnen |
|---|---|---|---|
| Kreisfläche | A = π × r² |
r = Radius. Äquivalent: A = π·d²/4. | Verwenden |
| Kreisumfang | C = 2π × r = π × d |
"Umfang" eines Kreises. d = 2r = Durchmesser. | Verwenden |
| Durchmesser | d = 2 × r |
Verwenden | |
| Sektorfläche | A_sector = ½ × r² × θ |
θ in Bogenmaß. Für Grad: A = (θ°/360) × π × r². | Verwenden |
| Bogenlänge | L = r × θ |
θ in Bogenmaß. Für Grad: L = (θ°/360) × 2π × r. | Verwenden |
| Standardgleichung | (x − h)² + (y − k)² = r² |
Mittelpunkt (h, k), Radius r. Analytische-Geometrie-Form. | Verwenden |
| Eingeschriebener Winkel | ∠inscribed = ½ × ∠central |
Ein in einen Kreis eingeschriebener Winkel ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel. | Verwenden |
Innen-/Außenwinkel, regelmäßige Polygonfläche und die Gauß-Trapezformel für jedes unregelmäßige Polygon.
| Formel | Gleichung | Hinweise | Berechnen |
|---|---|---|---|
| Summe der Innenwinkel | S = (n − 2) × 180° |
n = Anzahl der Seiten. Fünfeck (n=5) → 540°. | Verwenden |
| Jeder Innenwinkel (regulär) | a = (n − 2) × 180° / n |
Für ein reguläres Polygon (alle Seiten gleich). Sechseck → 120°. | Verwenden |
| Summe der Außenwinkel | 360° (always, for any convex polygon) |
Unabhängig von n. | Verwenden |
| Jeder Außenwinkel (regulär) | e = 360° / n |
Sechseck → 60°, Achteck → 45°. | Verwenden |
| Seitenanzahl aus Winkelsumme | n = S / 180° + 2 |
Umkehrung: gegeben S, n finden. | Verwenden |
| Reguläre Polygonfläche | A = ¼ × n × s² × cot(π/n) |
s = Seitenlänge. Äquivalent: A = ½ × P × Apothem. | Verwenden |
| Gauß-Trapezformel (jedes Polygon) | A = ½ × |Σᵢ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| |
Für unregelmäßige Polygone, definiert durch Eckpunkt-Koordinaten. | Verwenden |
Volumen und Oberfläche für Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, Pyramide.
| Formel | Gleichung | Hinweise | Berechnen |
|---|---|---|---|
| Würfelvolumen | V = s³ |
s = Kantenlänge. | Verwenden |
| Würfeloberfläche | SA = 6s² |
Verwenden | |
| Quadervolumen | V = l × w × h |
Quadervolumen. | Verwenden |
| Quaderoberfläche | SA = 2(lw + lh + wh) |
Verwenden | |
| Zylindervolumen | V = π × r² × h |
r = Radius, h = Höhe. | Verwenden |
| Zylinderoberfläche | SA = 2πr² + 2πrh |
2 Kreisdeckel + Seitenrechteck. | Verwenden |
| Kugelvolumen | V = (4/3) × π × r³ |
Verwenden | |
| Kugeloberfläche | SA = 4 × π × r² |
Entspricht der Fläche von 4 Großkreisen. | Verwenden |
| Kegelvolumen | V = (1/3) × π × r² × h |
Genau ⅓ des Zylinders mit gleicher Basis + Höhe. | Verwenden |
| Kegeloberfläche | SA = πr² + πrl |
l = Mantellinie = √(r² + h²). | Verwenden |
| Kegelmantelfläche | LSA = π × r × l |
Nur die gekrümmte Fläche, ohne Basis. | Verwenden |
| Quadratpyramidenvolumen | V = (1/3) × b² × h |
b = Basisseite. | Verwenden |
| Raumdiagonale des Quaders | d = √(l² + w² + h²) |
3D-Pythagoras. | Verwenden |
Distanz, Mittelpunkt, Steigung, Teilverhältnis — Grundlagen der analytischen Geometrie.
| Formel | Gleichung | Hinweise | Berechnen |
|---|---|---|---|
| Distanz zwischen zwei Punkten | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
2D-Pythagoras auf Koordinaten angewendet. | Verwenden |
| Mittelpunktformel | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
Exakter Mittelpunkt einer Strecke. | Verwenden |
| Steigung einer Geraden | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) |
Vertikale Änderung pro horizontaler Änderung. Senkrecht: undefinierte Steigung. | Verwenden |
| Steigungs-Achsenabschnitts-Form | y = mx + b |
m = Steigung, b = y-Achsenabschnitt. | Verwenden |
| Punkt-Steigungs-Form | y − y₁ = m(x − x₁) |
Eine Gerade aus bekanntem Punkt + Steigung konstruieren. | Verwenden |
| Teilverhältnisformel (intern) | P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) |
Punkt, der die Strecke im Verhältnis m : n innen teilt. | Verwenden |
| 3D-Distanz | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
Fügt z-Achse zur 2D-Distanzformel hinzu. | Verwenden |
| Parallele Linien | m₁ = m₂ |
Gleiche Steigungen. | Verwenden |
| Senkrechte Linien | m₁ × m₂ = −1 |
Negative Kehrwert-Steigungen. | Verwenden |
Für die Oberstufe: Fläche + Umfang von Dreieck/Rechteck/Kreis/Parallelogramm/Trapez; Volumen + Oberfläche von Würfel/Zylinder/Kugel; Satz des Pythagoras (a² + b² = c²); Distanzformel; und Polygon-Innenwinkelsumme (n − 2) × 180°. Alles andere kann in Sekunden daraus abgeleitet werden.
Der Umfang misst die Umrandung (1D — Einheiten wie cm). Die Fläche misst die 2D-Oberfläche (Einheiten wie cm²). Das Volumen misst den 3D-Raum innerhalb eines Körpers (Einheiten wie cm³). Ein Quadrat mit Seite 5 cm hat Umfang 20 cm, Fläche 25 cm² und (als Würfel) Volumen 125 cm³.
Jedes Polygon mit n Seiten kann durch Diagonalen von einem Eckpunkt in (n − 2) nicht überlappende Dreiecke zerlegt werden. Die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks beträgt 180°, also ist die Gesamtwinkelsumme des Polygons (n − 2) × 180°. Ein Fünfeck (n = 5) zerfällt in 3 Dreiecke → 540°.
Verwenden Sie ½ × Basis × Höhe, wenn Sie eine Basis und die senkrechte Höhe zu dieser Basis haben. Verwenden Sie die Heron-Formel, wenn Sie nur die drei Seitenlängen kennen (keine Höhe verfügbar). Heron: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), wobei s = (a+b+c)/2.
Die Mantelfläche (LSA = πrl) ist nur die gekrümmte Seite, wobei l = √(r² + h²) die Mantellinie ist. Die Gesamtoberfläche (SA = πr² + πrl) addiert die kreisförmige Basis. Mantelfläche beim Umwickeln eines Kegels (Farbe, Stoff), Gesamtoberfläche beim vollständigen Verschließen.
Alle obigen Formeln verwenden euklidische (flache) Geometrie mit kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten. Sie gelten NICHT für sphärische Geometrie (Erdoberfläche), hyperbolische Geometrie oder nicht-kartesische Systeme (polar, zylindrisch) ohne Umrechnung. Für alltägliche Schul- und Ingenieurmathematik ist die euklidische Abdeckung ausreichend.
Ja. Jede Formel auf dieser Seite verlinkt auf einen kostenlosen und unbegrenzten Rechner — keine Anmeldung erforderlich. KI-gestützte Schritt-für-Schritt-Erklärungen kosten je 3 Credits (jedes Konto erhält bei Registrierung 30 kostenlose Credits).
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