Heron-Formel

Berechne die Fläche eines beliebigen Dreiecks aus seinen drei Seiten — keine Höhe nötig

Geprüft von [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Zuletzt aktualisiert am May 12, 2026

Wenn Sie alle drei Seiten eines Dreiecks kennen, aber keine Winkel oder Höhen, liefert die Formel von Heron direkt die Fläche. Berechnen Sie den halben Umfang s und setzen Sie ihn dann in eine einzige Quadratwurzel ein. Sie funktioniert für JEDES Dreieck – ungleichseitig, gleichschenklig, gleichseitig, spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig.

Die Formeln

Name	Formel	Hinweise
Halbumfang	`s = (a + b + c) / 2`	Die Hälfte des Umfangs. Zuerst berechnen, dann in die Flächenformel einsetzen.
Heron-Formel	`A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]`	a, b, c sind die drei Seitenlängen. Die klassische Form (Heron von Alexandria, ~60 n. Chr.).
Algebraische Form	`A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]`	Äquivalente Erweiterung – kein Schritt mit dem Halbumfang.
Numerisch stabile Form	`A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))]`	Für sehr dünne Dreiecke, bei denen die Standardform an Genauigkeit verliert (Seiten zuerst sortieren a ≥ b ≥ c).
Dreiecksungleichungsprüfung	`a + b > c, a + c > b, b + c > a`	Alle drei müssen gelten; sonst existiert kein Dreieck und der Radikand wird negativ.
Spezialfall gleichseitiges Dreieck	`A = (√3 / 4) × a²`	Wenn a = b = c. Abgeleitet von Heron: s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Dreieck mit Seiten 5, 6, 7

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
s − a = 9 − 5 = 4; s − b = 9 − 6 = 3; s − c = 9 − 7 = 2
A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.697 unit²

Beispiel 2: Rechtwinkliges Dreieck 3-4-5 (überprüfen mit ½·b·h)

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Check via legs: ½ × 3 × 4 = 6 ✓ — Heron agrees.

Beispiel 3: Gleichseitiges Dreieck Seite 10

s = 30/2 = 15
A = √[15 × 5 × 5 × 5] = √1875 = 25√3 ≈ 43.30
Check: (√3/4) × 100 = 25√3 ≈ 43.30 ✓

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Formel von Heron?

Die Formel von Heron berechnet die Fläche eines Dreiecks aus seinen drei Seitenlängen a, b, c, ohne einen Winkel oder eine Höhe zu benötigen. Zuerst berechnet man den halben Umfang s = (a+b+c)/2, dann A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].

Wann sollte ich die Formel von Heron verwenden?

Verwenden Sie sie, wenn Sie alle drei Seiten (SSS-Fall) kennen, aber keine Höhe oder keinen Winkel. Wenn Sie auch einen Winkel kennen, ist die Formel ½·a·b·sin(C) schneller. Wenn Sie Grundseite und Höhe kennen, verwenden Sie einfach A = ½·b·h.

Funktioniert die Formel von Heron für rechtwinklige Dreiecke?

Ja – sie funktioniert für jedes Dreieck. Für ein 3-4-5-rechtwinkliges Dreieck: s = 6, A = √[6·3·2·1] = √36 = 6, was ½·3·4 = 6 entspricht.

Was passiert, wenn ich eine negative Zahl unter der Quadratwurzel erhalte?

Das bedeutet, dass Ihre drei Seiten kein echtes Dreieck bilden können. Überprüfen Sie die Dreiecksungleichung: Jede Seite muss kleiner sein als die Summe der anderen beiden (a + b > c usw.).

Wer hat die Formel von Heron erfunden?

Heron von Alexandria bewies sie um 60 n. Chr. in seinem Buch Metrica. Archimedes kannte sie wahrscheinlich früher; moderne Beweise verwenden Koordinaten oder den Kosinussatz.