Dreieck-Löser

"Ein Dreieck lösen" bedeutet: Gegeben sind drei der sechs Teile eines Dreiecks (drei Seiten + drei Winkel), gesucht sind die anderen drei. Unabhängig davon, ob Ihre drei bekannten Werte SSS / SAS / ASA / AAS / SSA sind, wählt der Dreiecksrechner automatisch die richtige Formel. Dieses Tutorial erklärt, was hinter jedem Klick passiert, damit Sie wissen, welche Eingaben ein eindeutiges Dreieck ergeben und welche null oder zwei Lösungen produzieren.

Die sechs Teile eines Dreiecks

Jedes Dreieck hat drei Seiten (bezeichnet mit a, b, c) und drei Winkel (A, B, C) — jeder Winkel liegt gegenüber der Seite mit dem gleichen Buchstaben. Zum Lösen eines Dreiecks werden mindestens drei bekannte Teile benötigt, wobei mindestens eine Seite dabei sein muss (denn drei Winkel ohne irgendeine Seite definieren unendlich viele ähnliche Dreiecke).

Die beiden Grundformeln

Jede Methode reduziert sich auf eine von zwei Beziehungen:

• Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Löst nach einer Seite auf, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder löst nach einem Winkel auf, wenn alle drei Seiten gegeben sind.
• Sinussatz: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Löst nach einer Seite auf, wenn eine Seite, ihr gegenüberliegender Winkel und ein weiterer Winkel gegeben sind.

SSS — drei Seiten gegeben

Eingaben: a, b, c. Ausgaben: A, B, C, Fläche, Umfang.
Der Rechner berechnet cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), ermittelt C mittels Arkuskosinus, wiederholt dies für A oder B und verwendet dann A + B + C = 180° für den letzten Winkel. Die Formel von Heron liefert die Fläche aus nur den drei Seiten — keine Höhe erforderlich.

Beispiel: a = 5, b = 7, c = 9. cos(C) = (25 + 49 − 81) / 70 = −0.1 → C ≈ 95,74°. sin(A) / 5 = sin(95,74°) / 9 → A ≈ 33,56°. B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. Fläche = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) wobei s = 10,5 → Fläche ≈ 17,41.

SSS liefert immer ein eindeutiges Dreieck, sofern die Dreiecksungleichung erfüllt ist (jede Seite < Summe der anderen beiden).

SAS — zwei Seiten + eingeschlossener Winkel

Eingaben: zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen (z. B. a, b, C).
Der Kosinussatz liefert die dritte Seite: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Dann liefert der Sinussatz einen der anderen Winkel, und der dritte ist 180° minus der Summe.

Beispiel: a = 8, b = 10, C = 60°. c² = 64 + 100 − 160·cos(60°) = 84 → c ≈ 9,17. sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17 → A ≈ 49,11°. B = 70,89°.

ASA — zwei Winkel + eingeschlossene Seite

Eingaben: zwei Winkel + die Seite zwischen ihnen (z. B. A, B, c).
Dritter Winkel = 180° − A − B. Dann Sinussatz für jede verbleibende Seite.

Beispiel: A = 50°, B = 60°, c = 12. C = 70°. a = 12 × sin(50°) / sin(70°) ≈ 9,78. b ≈ 11,06.

AAS — zwei Winkel + nicht eingeschlossene Seite

Eingaben: zwei Winkel und eine Seite gegenüber einem von ihnen (z. B. A, B, a). Gleich wie ASA: dritten Winkel berechnen, dann Sinussatz.

SSA — der mehrdeutige Fall

Eingaben: zwei Seiten + ein Winkel gegenüber einer von ihnen (z. B. a, b, A — aber der Winkel liegt nicht zwischen den beiden Seiten).
Dies ist der einzige Fall, der null, eine oder zwei gültige Dreiecke ergeben kann. Der Rechner prüft sin(B) = b × sin(A) / a:

• Wenn sin(B) > 1 → kein Dreieck existiert (Seite b ist für Winkel A zu lang).
• Wenn sin(B) = 1 → ein rechtwinkliges Dreieck (B = 90°).
• Wenn sin(B) < 1 → zwei Kandidaten B₁ = arcsin(...) und B₂ = 180° − B₁. Beide sind gültig, wenn A + B<180° in jedem Fall gilt.

Beispiel mit zwei Lösungen: a = 6, b = 8, A = 35°. sin(B) ≈ 0,7648. B₁ ≈ 49,86° (spitz), B₂ ≈ 130,14° (stumpf). A + B₁ = 84,86° und A + B₂ = 165,14° — beide < 180°, also sind beide gültige Dreiecke. Der Rechner gibt das spitzwinklige als primär zurück und fügt ein Ergebnis "ambiguous_note" hinzu, das die stumpfwinklige Alternative zeigt.

Häufige Fehler

• Verwendung des Sinussatzes, wenn der Kosinussatz benötigt wird. Der Sinussatz erfordert ein bekanntes Seiten-Winkel-Paar. Für SSS oder SAS müssen Sie mit dem Kosinussatz beginnen.
• Das Vergessen der zweiten Lösung bei SSA. Praxisprobleme mit gemessenen Winkeln können in den mehrdeutigen Bereich fallen; prüfen Sie immer, ob B₂ = 180° − B₁ auch A + B₂ < 180° erfüllt.
• Bogenmaß vs. Gradmaß. Alle Beispiele gehen vom Gradmodus aus. Wenn Ihre manuelle Antwort um einen Faktor von ~60 abweicht, haben Sie die Umrechnung vergessen.
• Verwechseln von Seiten- und Winkelbezeichnungen. Seite a liegt gegenüber Winkel A, Seite b gegenüber B, Seite c gegenüber C. Von Hand gezeichnete Diagramme verwenden manchmal die falsche Paarung.

Wann einen anderen Rechner verwenden

• Für nur rechtwinklige Dreiecke ist der Rechner für gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke oder das Tool Spezielle rechtwinklige Dreiecke schneller.
• Für nur die Fläche aus drei Seiten überspringt der Rechner für die Formel von Heron den Schritt der Winkelermittlung.
• Für koordinatendefinierte Dreiecke (Ecken an (x,y)-Punkten) verwenden Sie die Seite Dreieck in der Koordinatengeometrie.
• Für Kongruenzbeweise (Überprüfung, ob zwei Dreiecke via SSS/SAS/ASA/AAS/HL übereinstimmen), siehe den Rechner für kongruente Dreiecke.

Verwandte Konzepte

Der Rechner gibt auch den Umkreisradius R = abc / (4·Fläche) — den Radius des Kreises, der durch alle drei Eckpunkte verläuft — und den Inkreisradius r = Fläche / s zurück, wobei s = halber Umfang ist. Auch die drei Höhen h_a = 2·Fläche / a (entsprechend h_b, h_c) werden berechnet. Diese zusätzlichen Werte ermöglichen eine schnelle Überprüfung des Dreiecks: Die Formel R = abc / (4·Fläche) ist unabhängig von der Lösungsmethode, daher ist eine Selbstkonsistenzprüfung: "Habe ich dasselbe R auf beiden Wegen erhalten?".