헤론 공식

세 변의 길이로 임의의 삼각형 넓이 구하기 — 높이 불필요

[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator 검수 마지막 업데이트 May 12, 2026

세 변의 길이를 모두 알고 각이나 높이를 모를 때, 헤론의 공식으로 넓이를 직접 구할 수 있습니다. 반둘레 s를 계산한 후, 하나의 제곱근에 대입하면 됩니다. 이 공식은 모든 삼각형(부등변삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형, 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형)에 적용됩니다.

공식

이름 공식 비고
반둘레 s = (a + b + c) / 2 둘레의 절반입니다. 먼저 계산한 후 넓이 공식에 대입합니다.
헤론 공식 A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] a, b, c는 세 변의 길이입니다. 고전적인 형태(알렉산드리아의 헤론, 약 60년).
대수적 형태 A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)] 동등한 전개식 — 반둘레 단계 없음.
수치적으로 안정적인 형태 A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))] 매우 얇은 삼각형에서 표준 형태가 정밀도를 잃는 경우(먼저 변을 a ≥ b ≥ c 순으로 정렬).
삼각형 부등식 확인 a + b > c, a + c > b, b + c > a 세 조건이 모두 성립해야 합니다. 그렇지 않으면 삼각형이 존재하지 않으며 근호 안이 음수가 됩니다.
정삼각형 특수 경우 A = (√3 / 4) × a² a = b = c일 때. 헤론의 공식에서 유도: s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4.

풀이 예제

예제 1: 변의 길이가 5, 6, 7인 삼각형

  1. s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
  2. s − a = 9 − 5 = 4; s − b = 9 − 6 = 3; s − c = 9 − 7 = 2
  3. A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.697 unit²

예제 2: 직각삼각형 3-4-5 (½·b·h로 검증)

  1. s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
  2. A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
  3. Check via legs: ½ × 3 × 4 = 6 ✓ — Heron agrees.

예제 3: 한 변의 길이가 10인 정삼각형

  1. s = 30/2 = 15
  2. A = √[15 × 5 × 5 × 5] = √1875 = 25√3 ≈ 43.30
  3. Check: (√3/4) × 100 = 25√3 ≈ 43.30 ✓

자주 묻는 질문

헤론의 공식이란 무엇인가?
헤론의 공식은 세 변의 길이 a, b, c만으로 각이나 높이 없이 삼각형의 넓이를 계산합니다. 먼저 반둘레 s = (a+b+c)/2를 구한 후, A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]입니다.
헤론의 공식은 언제 사용해야 하나?
세 변을 모두 알고(SSS 경우) 높이나 각을 모를 때 사용합니다. 각도 알고 있다면 ½·a·b·sin(C) 공식이 더 빠릅니다. 밑변과 높이를 알면 A = ½·b·h를 사용하면 됩니다.
헤론의 공식은 직각삼각형에도 적용되나?
네, 모든 삼각형에 적용됩니다. 3-4-5 직각삼각형의 경우: s = 6, A = √[6·3·2·1] = √36 = 6이며, 이는 ½·3·4 = 6과 일치합니다.
제곱근 안에 음수가 나오면 어떻게 하나?
이는 세 변이 실제 삼각형을 만들 수 없음을 의미합니다. 삼각부등식을 확인하세요: 각 변은 다른 두 변의 합보다 작아야 합니다 (a + b > c 등).
헤론의 공식은 누가 발명했나?
알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 Metrica에서 약 60년경에 증명했습니다. 아르키메데스가 더 일찍 알았을 가능성이 있으며, 현대적 증명은 좌표나 코사인 법칙을 사용합니다.

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