立体形状 + 3D 坐标几何：方向余弦、直线、平面
由 [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator 审核 最后更新于 May 14, 2026
三维几何涵盖标准学校课程中的两个相关主题：(1) 立体图形——立方体、圆柱、球、圆锥、棱锥和棱柱的体积和表面积；(2) 三维坐标几何（印度NCERT 12年级，其他地区A-level同等水平）——方向余弦、三维空间中的直线和平面。本页收集了两者所需的所有公式，并附有例题。
| 名称 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 立方体——体积 | V = s³ |
s = 棱长。SA = 6s²，对角线 d = s√3。 |
| 长方体——体积 | V = l × w × h |
SA = 2(lw + lh + wh)；空间对角线 d = √(l² + w² + h²)。 |
| 圆柱——体积 | V = π × r² × h |
SA = 2πr(r + h)；侧面积 SA = 2πrh。 |
| 球——体积 | V = (4/3) × π × r³ |
SA = 4πr²。唯一只有一个参数的形状。 |
| 圆锥——体积 | V = (1/3) × π × r² × h |
恰好是等底等高圆柱的1/3。母线 l = √(r²+h²)；SA = πr(r + l)。 |
| 四棱锥——体积 | V = (1/3) × b² × h |
b = 底面边长。是等底等高立方体的1/3。 |
| 三维距离 | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
三维勾股定理。二维距离公式的推广。 |
| 三维中点 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
分量取平均——与二维完全相同。 |
| 方向余弦 | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = 直线与x、y、z轴的夹角。恒等式：l² + m² + n² = 1。 |
| 方向比 → 方向余弦 | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
将方向比 (a,b,c) 归一化得到单位向量 (l,m,n)。 |
| 直线——向量形式 | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = 直线上一点的位置向量；⃗b = 方向向量；λ = 参数（任意实数）。 |
| 直线——笛卡尔（对称）形式 | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = 直线上一点；(a,b,c) = 方向比。 |
| 平面——向量法式 | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = 法向量；d = 到原点的距离。 |
| 平面——笛卡尔形式 | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C) 是平面的法向量。 |
| 平面——截距式 | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = 平面在x、y、z轴上的截距。 |
| 点到平面的距离 | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
点 (x₀, y₀, z₀)；平面 Ax+By+Cz+D=0。纯三维的点到直线距离的类比。 |
| 两直线夹角 | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
方向向量的点积，归一化。θ ∈ [0°, 90°]。 |
| 两平面夹角 | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
法向量的点积。平行平面 → θ = 0；垂直 → θ = 90°。 |
| 异面直线——最短距离 | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
叉积给出公垂方向；将连接向量投影到该方向上。 |