Calculateur de loi des sinus

La loi des sinus (également appelée règle des sinus) est l'un des deux outils universels de résolution des triangles en trigonométrie — avec la loi des cosinus, ces deux lois couvrent tous les triangles quelconques, pas seulement les triangles rectangles. La loi des sinus stipule que le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle opposé est identique pour les trois côtés de tout triangle. Ce tutoriel explique ce qu'affirme la loi, quand l'utiliser (par rapport à la loi des cosinus), comment résoudre un triangle dans chaque cas applicable, ainsi que l'infâme « cas ambigu » du SSA.

L'énoncé de la loi

Pour tout triangle ayant pour côtés a, b, c et pour angles A, B, C opposés à ces côtés respectivement :

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Chaque rapport de cette chaîne est égal à une même constante — géométriquement, cette constante correspond au diamètre du cercle circonscrit du triangle (le cercle unique passant par les trois sommets). Ainsi, a / sin(A) = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. Cela donne une quatrième forme, moins utilisée, de la loi :

a = 2R · sin(A), b = 2R · sin(B), c = 2R · sin(C)

Quand utiliser la loi des sinus

La loi des sinus s'applique chaque fois que vous disposez d'une paire côté-angle associée — c'est-à-dire un côté et l'angle qui lui est opposé. Cette paire est nécessaire pour établir le rapport. À partir de là, vous pouvez déterminer n'importe quel autre côté si vous connaissez son angle opposé, ou n'importe quel angle si vous connaissez son côté opposé.

Plus précisément :

• ASA (Angle-Côté-Angle) : deux angles et le côté compris entre eux. Le troisième angle se déduit de A + B + C = 180°. Ensuite, la loi des sinus permet de trouver les deux côtés restants.
• AAS (Angle-Angle-Côté) : deux angles et un côté opposé à l'un d'eux. Même démarche.
• SSA (Côté-Côté-Angle) : deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux. Il s'agit du cas ambigu — voir ci-dessous.

Quand utiliser plutôt la loi des cosinus : SSS (trois côtés) et SAS (deux côtés et l'angle inclus). Dans ces cas, aucune paire côté-angle n'est encore connue, et la loi des cosinus constitue la bonne approche initiale.

Exemple résolu — ASA

Étant donnés A = 50°, B = 60°, et le côté c compris entre eux = 12. Trouver les deux autres côtés.

Troisième angle : C = 180° − 50° − 60° = 70°.

Par la loi des sinus : a/sin(50°) = 12/sin(70°). Résoudre pour a : a = 12 · sin(50°)/sin(70°) ≈ 12 · 0,766/0,940 ≈ 9,78.

De même : b = 12 · sin(60°)/sin(70°) ≈ 12 · 0,866/0,940 ≈ 11,06.

Exemple résolu — AAS

Étant donnés A = 35°, B = 45°, a = 7. Trouver c.

Par la loi des sinus : 7/sin(35°) = c/sin(C). Calculer d'abord C : C = 180° − 35° − 45° = 100°. Puis c = 7 · sin(100°)/sin(35°) ≈ 7 · 0,985/0,574 ≈ 12,02.

Le cas ambigu — SSA

C'est le scénario le plus fréquemment posé. Étant donnés deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, il peut exister zéro, un ou deux triangles valides.

Configuration : côtés a et b donnés, angle A donné (opposé au côté a). La loi des sinus donne sin(B) = b · sin(A) / a. Il y a trois cas possibles pour le résultat :

• sin(B) > 1 : impossible. Aucun triangle n'existe. Le côté a est trop court pour « atteindre » le troisième sommet.
• sin(B) = 1 : exactement un triangle, avec B = 90°. Le cas unique du triangle rectangle.
• sin(B) < 1 : deux angles candidats : B₁ = arcsin(sin(B)) (aigu) et B₂ = 180° − B₁ (obtus). Les deux peuvent être valides — vérifier si A + B₂ < 180° pour chaque candidat. Si A + B₁ < 180° ET A + B₂ < 180°, vous avez deux triangles valides. Si un seul passe la vérification, vous avez un seul triangle.

Ceci correspond exactement à la branche SSA implémentée dans le Résolveur de triangles. Lorsque deux solutions existent, elles sont toutes deux signalées avec un indicateur « ambiguous_note ».

Exemple résolu — SSA avec deux solutions

Étant donnés a = 6, b = 8, A = 35°. Trouver B.

sin(B) = 8 · sin(35°) / 6 = 8 · 0,5736 / 6 ≈ 0,7648.

B₁ = arcsin(0,7648) ≈ 49,886°. Candidat aigu.

B₂ = 180° − 49,886° ≈ 130,114°. Candidat obtus.

Vérifier A + B pour chacun : A + B₁ = 35° + 49,886° = 84,886° (inférieur à 180°, valide). A + B₂ = 35° + 130,114° = 165,114° (également inférieur à 180°, valide). Les deux sont valides — deux triangles existent avec les mesures données.

Le triangle aigu a C = 180° − 84,886° = 95,114°. Le triangle obtus a C = 180° − 165,114° = 14,886°. Les deux triangles partagent les côtés a et b, partagent l'angle A, mais diffèrent par B et C ainsi que par la longueur de c.

Relation avec le cercle circonscrit

Le rapport constant a/sin(A) est égal au diamètre du cercle circonscrit. Cela offre un moyen rapide de trouver le rayon du cercle circonscrit R = a / (2 sin(A)) dès qu'un côté et son angle opposé sont connus.

Réciproquement, si un triangle est inscrit dans un cercle de rayon connu R, alors pour n'importe quel angle au sommet θ, la corde opposée (côté) a pour longueur 2R · sin(θ). La loi des sinus est fondamentalement une propriété des cercles, mise en évidence par le théorème de l'angle inscrit.

Erreurs courantes

• Confondre sin(A) avec A. Le rapport a/sin(A) utilise le SINUS de l'angle, et non l'angle lui-même. Oublier de prendre le sinus rendra vos résultats absurdes.
• Incompatibilité de mode (degrés vs radians). Notre calculateur attend des degrés. Si votre manuel est en radians, convertissez. sin(60°) ≈ 0,866 mais sin(60 radians) ≈ −0,305.
• Tenter d'utiliser la loi des sinus sur SSS ou SAS. Ces cas ne comportent aucune paire côté-angle connue. Utilisez la loi des cosinus pour obtenir le premier angle, puis passez à la loi des sinus.
• Ignorer le cas ambigu. Lorsqu'on vous donne un cas SSA, vérifiez toujours s'il existe deux solutions. De nombreux exercices de manuels s'attendent à ce que les deux soient signalées.
• Oublier que AAA ne détermine pas la taille. Trois angles donnent la forme mais pas l'échelle. Vous avez toujours besoin d'au moins un côté.