La fórmula cuadrática — x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a — parece un tema de álgebra, pero aparece sorprendentemente a menudo en geometría. Cada vez que una configuración geométrica lleva a una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, la fórmula es tu recurso cuando factorizar es complicado. Esta guía cubre los cuatro escenarios más comunes donde la verás, con un ejemplo resuelto para cada uno, además de cómo interpretar el discriminante geométricamente.
Dada ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), las soluciones son:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
La expresión bajo la raíz cuadrada, D = b² − 4ac, es el discriminante. Te indica cuántas soluciones reales existen:
El signo del discriminante suele ser la información más útil: te indica si existe una configuración antes de calcular los valores exactos.
Encuentra dónde la recta y = x + 1 cruza el círculo x² + y² = 25.
Sustituye y = x + 1 en la ecuación del círculo:
x² + (x + 1)² = 25
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x − 24 = 0
x² + x − 12 = 0
Aplica la fórmula cuadrática con a = 1, b = 1, c = −12:
x = (−1 ± √(1 + 48)) / 2 = (−1 ± 7) / 2 → x = 3 o x = −4
Valores correspondientes de y: y = 4 y y = −3.
Los dos puntos de intersección son (3, 4) y (−4, −3).
El discriminante D = 49 > 0 confirmó dos intersecciones. Si D hubiera sido 0, la recta sería tangente (tocando en un solo punto); si D hubiera sido negativo, la recta no tocaría el círculo en absoluto.
Un rectángulo tiene una longitud 2 cm mayor que su anchura y un área de 35 cm². Encuentra sus dimensiones.
Sea anchura = w. Entonces longitud = w + 2, y área = w(w + 2) = 35:
w² + 2w − 35 = 0
Fórmula cuadrática con a = 1, b = 2, c = −35:
w = (−2 ± √(4 + 140)) / 2 = (−2 ± 12) / 2 → w = 5 o w = −7
La anchura debe ser positiva, así que w = 5 cm y longitud = 7 cm. (Siempre descarta las raíces negativas cuando la incógnita es una longitud física — este es el paso de filtrado más común específico de la geometría).
Encuentra dónde la recta y = 2x − 1 cruza la parábola y = x² − 3x + 2.
Iguala:
x² − 3x + 2 = 2x − 1
x² − 5x + 3 = 0
Fórmula cuadrática con a = 1, b = −5, c = 3:
x = (5 ± √(25 − 12)) / 2 = (5 ± √13) / 2
Así que x ≈ 4,30 o x ≈ 0,70. Sustituyendo de nuevo en y = 2x − 1 se obtienen y ≈ 7,61 y y ≈ 0,40.
Para una parábola, D > 0 significa que la recta atraviesa (dos intersecciones), D = 0 significa que la recta es tangente, D < 0 significa que la recta no toca.
Una lámina rectangular de 20 cm por 15 cm tiene cuadrados iguales de lado x cortados de cada esquina; luego se doblan los lados para formar una caja abierta. ¿Para qué valor de x es el volumen exactamente 300 cm³?
Después de cortar y doblar, las dimensiones de la caja son:
Volumen V = x(20 − 2x)(15 − 2x). Igualando V = 300 y expandiendo:
x(300 − 70x + 4x²) = 300
4x³ − 70x² + 300x − 300 = 0
Esto es cúbico, no cuadrático — pero para la versión más sencilla «encuentra cuándo V = algún valor máximo», la restricción a veces puede reducirse. Para problemas cúbicos genuinos como este, la fórmula cuadrática maneja cada factor cuadrático después de la división polinómica.
Para la versión paralela de estilo examen «encuentra x tal que el perímetro de la base sea 50 cm», se obtiene una ecuación cuadrática limpia: 2(20 − 2x) + 2(15 − 2x) = 50 → 70 − 8x = 50 → x = 2,5. (Lineal, no se necesita la fórmula cuadrática). La versión con fórmula cuadrática: «encuentra x tal que el área de la base sea 200 cm²»: (20 − 2x)(15 − 2x) = 200 → 4x² − 70x + 100 = 0 → x = (70 ± √(4900 − 1600)) / 8 = (70 ± 57,45) / 8 → x ≈ 1,57 (la otra raíz es demasiado grande para cortarse físicamente). x ≈ 1,57 cm.
Una razón por la que los problemas de geometría adoran la fórmula cuadrática: el discriminante tiene una interpretación geométrica limpia en cada escenario.
| Escenario | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
|---|---|---|---|
| Recta vs Círculo | 2 intersecciones (secante) | Tangente (1 punto) | La recta no toca el círculo |
| Recta vs Parábola | La recta atraviesa | Tangente a la parábola | Recta por encima/por debajo de la curva |
| Dos círculos | Se intersecan en 2 puntos | Tangente (1 punto) | Disjuntos o uno dentro del otro |
| Encontrar longitud a partir del área | 2 raíces algebraicas (conservar la positiva) | 1 raíz (forma cuadrada) | Imposible — área demasiado pequeña |
¿Cuándo uso la fórmula cuadrática frente a la factorización? Intenta factorizar primero si a, b, c son enteros pequeños (≤ 30 en magnitud). Si la factorización no da raíces limpias en 30 segundos, cambia a la fórmula cuadrática. Para raíces irracionales o coeficientes no enteros, la fórmula siempre es más rápida.
¿Qué pasa si el discriminante es negativo? En geometría significa que no existe solución real: la configuración que planteaste es imposible. Interpretación común: la recta no alcanza el círculo, el área que especificaste no se puede lograr con ese perímetro, etc. A veces «ninguna solución real» es la respuesta que el problema busca.
¿Puede la fórmula cuadrática manejar ecuaciones que ya contienen √ o funciones trigonométricas? Indirectamente — primero elimina la √ o la función trigonométrica (eleva al cuadrado ambos lados, usa identidades pitagóricas, sustitución) hasta obtener un polinomio en una variable. Luego aplica la fórmula. El clásico «encuentra x cuando sin²x + 2 sin x − 1 = 0» es una ecuación cuadrática en sin x.
¿Existen configuraciones geométricas donde se aplica la fórmula cúbica? Sí — la mayoría de los problemas de «volumen = fijo» con una sola dimensión variable producen una ecuación cúbica (véase el escenario de plegado de caja arriba). La fórmula cúbica existe pero rara vez se usa directamente; en la práctica se factoriza una raíz por inspección y luego se aplica la fórmula cuadrática a lo que queda.
Para los métodos de «resolver para x en geometría» que incluyen escenarios de fórmula cuadrática, consulta Cómo encontrar x en problemas de geometría. Para ecuaciones de círculo (x − h)² + (y − k)² = r² que alimentan problemas de intersección con rectas como el Escenario 1, consulta Fórmulas de círculo