La formule quadratique — x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a — semble être un sujet d'algèbre, mais elle apparaît étonnamment souvent en géométrie. Chaque fois qu'une configuration géométrique conduit à une équation de la forme ax² + bx + c = 0, la formule est votre recours lorsque la factorisation est compliquée. Ce guide couvre les quatre scénarios les plus courants où vous la rencontrerez, avec un exemple résolu pour chacun, ainsi que la façon d'interpréter le discriminant géométriquement.
Étant donné ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), les solutions sont :
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
L'expression sous la racine carrée, D = b² − 4ac, est le discriminant. Elle indique combien de solutions réelles existent :
Le signe du discriminant est souvent l'information la plus utile — il indique si une configuration existe avant de calculer les valeurs exactes.
Trouver où la droite y = x + 1 coupe le cercle x² + y² = 25.
Substituer y = x + 1 dans l'équation du cercle :
x² + (x + 1)² = 25
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x − 24 = 0
x² + x − 12 = 0
Appliquer la formule quadratique avec a = 1, b = 1, c = −12 :
x = (−1 ± √(1 + 48)) / 2 = (−1 ± 7) / 2 → x = 3 ou x = −4
Valeurs correspondantes de y : y = 4 et y = −3.
Les deux points d'intersection sont (3, 4) et (−4, −3).
Le discriminant D = 49 > 0 a confirmé deux intersections. Si D avait été 0, la droite aurait été tangente (touchant en un seul point) ; si D avait été négatif, la droite aurait manqué le cercle entièrement.
Un rectangle a une longueur de 2 cm de plus que sa largeur, et une aire de 35 cm². Trouver ses dimensions.
Soit largeur = w. Alors longueur = w + 2, et aire = w(w + 2) = 35 :
w² + 2w − 35 = 0
Formule quadratique avec a = 1, b = 2, c = −35 :
w = (−2 ± √(4 + 140)) / 2 = (−2 ± 12) / 2 → w = 5 ou w = −7
La largeur doit être positive, donc w = 5 cm et longueur = 7 cm. (Toujours écarter les racines négatives lorsque l'inconnue est une longueur physique — c'est l'étape de filtrage la plus courante spécifique à la géométrie.)
Trouver où la droite y = 2x − 1 coupe la parabole y = x² − 3x + 2.
Égaliser :
x² − 3x + 2 = 2x − 1
x² − 5x + 3 = 0
Formule quadratique avec a = 1, b = −5, c = 3 :
x = (5 ± √(25 − 12)) / 2 = (5 ± √13) / 2
Donc x ≈ 4,30 ou x ≈ 0,70. En substituant dans y = 2x − 1, on obtient y ≈ 7,61 et y ≈ 0,40.
Pour une parabole, D > 0 signifie que la droite traverse (deux intersections), D = 0 signifie que la droite est tangente, D < 0 signifie que la droite ne touche pas.
Une feuille rectangulaire de 20 cm par 15 cm a des carrés égaux de côté x découpés à chaque coin, puis les côtés sont repliés pour former une boîte ouverte. Pour quelle valeur de x le volume est-il exactement de 300 cm³ ?
Après découpe et pliage, les dimensions de la boîte sont :
Volume V = x(20 − 2x)(15 − 2x). En posant V = 300 et en développant :
x(300 − 70x + 4x²) = 300
4x³ − 70x² + 300x − 300 = 0
C'est cubique, pas quadratique — mais pour la version plus simple « trouver quand V = une valeur maximale », la contrainte peut parfois être réduite. Pour les problèmes cubiques authentiques comme celui-ci, la formule quadratique traite chaque facteur quadratique après division polynomiale.
Pour la version parallèle de style examen « trouver x tel que le périmètre de la base égale 50 cm », on obtient une équation quadratique propre : 2(20 − 2x) + 2(15 − 2x) = 50 → 70 − 8x = 50 → x = 2,5. (Linéaire, pas besoin de formule quadratique.) La version avec formule quadratique : « trouver x tel que l'aire de la base égale 200 cm² » : (20 − 2x)(15 − 2x) = 200 → 4x² − 70x + 100 = 0 → x = (70 ± √(4900 − 1600)) / 8 = (70 ± 57,45) / 8 → x ≈ 1,57 (l'autre racine est trop grande pour être découpée physiquement). x ≈ 1,57 cm.
Une raison pour laquelle les problèmes de géométrie adorent la formule quadratique : le discriminant a une interprétation géométrique claire dans chaque scénario.
| Scénario | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
|---|---|---|---|
| Droite vs Cercle | 2 intersections (sécante) | Tangente (1 point) | Droite manque le cercle |
| Droite vs Parabole | Droite traverse | Tangente à la parabole | Droite au-dessus/en dessous de la courbe |
| Deux cercles | Intersection en 2 points | Tangente (1 point) | Disjoints ou l'un dans l'autre |
| Trouver longueur à partir de l'aire | 2 racines algébriques (conserver la positive) | 1 racine (forme carrée) | Impossible — aire trop petite |
Quand utiliser la formule quadratique plutôt que la factorisation ? Essayez d'abord la factorisation si a, b, c sont de petits entiers (≤ 30 en valeur absolue). Si la factorisation ne donne pas de racines propres en 30 secondes, passez à la formule quadratique. Pour les racines irrationnelles ou les coefficients non entiers, la formule est toujours plus rapide.
Que faire si le discriminant est négatif ? En géométrie, cela signifie qu'aucune solution réelle n'existe — la configuration que vous avez établie est impossible. Interprétation courante : la droite n'atteint pas le cercle, l'aire spécifiée ne peut pas être atteinte avec ce périmètre, etc. Parfois, « aucune solution réelle » est la réponse attendue par le problème.
La formule quadratique peut-elle traiter des équations contenant déjà √ ou des fonctions trigonométriques ? Indirectement — éliminez d'abord le √ ou la fonction trigonométrique (élever au carré des deux côtés, utiliser les identités pythagoriciennes, substitution) jusqu'à obtenir un polynôme en une variable. Appliquez ensuite la formule. Le cas classique « trouver x quand sin²x + 2 sin x − 1 = 0 » est une équation quadratique en sin x.
Y a-t-il des configurations géométriques où la formule cubique s'applique ? Oui — la plupart des problèmes « volume = valeur fixe » avec une seule dimension variable produisent une équation cubique (voir le scénario de pliage de boîte ci-dessus). La formule cubique existe mais est rarement utilisée directement ; en pratique, on factorise une racine par inspection, puis on applique la formule quadratique au reste.
Pour les méthodes de « résolution pour x en géométrie » qui incluent des scénarios de formule quadratique, voir Comment trouver x dans les problèmes de géométrie. Pour les équations de cercle (x − h)² + (y − k)² = r² qui interviennent dans les problèmes d'intersection avec une droite comme le Scénario 1, voir Formules de cercle