코사인 법칙 계산기

코사인 법칙은 삼각형을 푸는 두 가지 보편적인 도구 중 두 번째로, 사인 법칙과 함께 사용됩니다. 사인 법칙이 AAS, ASA, SSA 경우(일치하는 변과 각의 쌍을 가짐)에 적용되는 반면, 코사인 법칙은 일치하는 변과 각의 쌍이 없는 경우에 적용됩니다: SSS(세 변)와 SAS(두 변과 그 사이각). 또한 사이각이 90°일 때 피타고라스 정리로 축소되므로, 모든 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 자연스러운 일반화입니다. 이 튜토리얼에서는 코사인 법칙의 진술, 증명, 사인 법칙과의 사용 시기 비교, 그리고 SSS 및 SAS 사례에 대한 풀이 예제를 다룹니다.

코사인 법칙의 진술

변이 a, b, c이고 변 c의 대각이 C인 모든 삼각형에 대해 다음이 성립합니다:

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

대칭성에 의해 다른 두 각에 대해서도 변수명을 바꾸면 동일한 관계가 성립합니다:

• a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
• b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
• c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

세 변의 길이로부터 각을 구하려면 cos(C)에 대해 식을 정리합니다:

cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)

피타고라스 정리와의 연관성

C = 90°일 때, cos(C) = 0이 되며 공식은 다음과 같이 축소됩니다:

c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²

이는 바로 피타고라스 정리입니다. 따라서 코사인 법칙은 엄밀한 일반화로, 어떤 삼각형에도 적용되며, −2ab·cos(C) 항은 직각삼각형이 될 때 소멸되는 '보정' 역할을 합니다.

이 보정항의 부호는 삼각형의 형태에 대한 정보도 제공합니다:

• cos(C) > 0 (C는 예각, < 90°): 보정항이 양수이므로 c² < a² + b² (c는 피타고라스 정리가 예측하는 길이보다 짧음). 삼각형은 C에서 예각입니다.
• cos(C) = 0 (C는 정확히 90°): 보정항이 소멸함. C에서 직각삼각형.
• cos(C) < 0 (C는 둔각, > 90°): 보정항이 음수이므로 c² > a² + b² (c는 피타고라스 정리가 예측하는 길이보다 김). C에서 둔각임.

이는 위장된 피타고라스 정리의 역정리 테스트입니다.

좌표계를 이용한 증명

좌표 평면에 삼각형을 놓습니다: 꼭짓점 A를 원점에 두고, 변 AB를 양의 x축 위에 길이 c로 놓으며, 꼭짓점 B를 (c, 0)으로 둡니다. 꼭짓점 C는 x축 위에 어딘가에 위치시킵니다.

각 A와 변 b(A에서 C까지의 길이)로부터, C의 좌표는 다음과 같습니다:

C = (b · cos(A), b · sin(A))

세 번째 변 a는 B = (c, 0)에서 C = (b·cos(A), b·sin(A))로 이어집니다. 거리 공식을 적용합니다:

a² = (b·cos(A) − c)² + (b·sin(A))²
= b²cos²(A) − 2bc·cos(A) + c² + b²sin²(A)
= b²(cos²(A) + sin²(A)) − 2bc·cos(A) + c²
= b² + c² − 2bc·cos(A)

중간 단계에서 피타고라스 항등식 cos² + sin² = 1을 사용했습니다. 결과가 코사인 법칙입니다.

코사인 법칙과 사인 법칙 중 언제 사용할까?

기억법: 아직 일치하는 변과 각의 쌍이 알려지지 않았을 때는 코사인 법칙을 사용하십시오. 그런 다음 필요시 한 쌍이 생기면 사인 법칙으로 전환합니다.

풀이 예제 — SSS

변 a = 5, b = 7, c = 9인 삼각형. 세 각을 모두 구하시오.

먼저 C를 구합니다 (가장 긴 변의 대각이며, 일반적으로 가장 안전함):

cos(C) = (5² + 7² − 9²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0.1

C = arccos(−0.1) ≈ 95.74° (c² > a² + b²이므로 예상대로 둔각).

다음으로 A를 구합니다:

cos(A) = (7² + 9² − 5²) / (2 · 7 · 9) = (49 + 81 − 25) / 126 = 105/126 ≈ 0.8333

A = arccos(0.8333) ≈ 33.56°.

세 번째 각: B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°. (B에 대해 코사인 법칙으로 검증할 수 있지만, 합이 180°가 되는지 확인하는 것이 더 빠릅니다.)

풀이 예제 — SAS

변 a = 8, b = 10, 그리고 사이각 C = 60°인 삼각형. 변 c를 구하시오.

c² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(60°) = 64 + 100 − 160(0.5) = 164 − 80 = 84

c = √84 ≈ 9.17.

그런 다음 다른 각들을 구하기 위해 사인 법칙으로 전환합니다:

sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17

sin(A) = 8 · sin(60°) / 9.17 ≈ 8 · 0.866 / 9.17 ≈ 0.755

A = arcsin(0.755) ≈ 49.11°.

B = 180° − 60° − 49.11° = 70.89°.

왜 코사인 법칙에는 '모호한 경우'가 없는가?

SSS의 경우, 세 변은 삼각형을 유일하게 결정합니다 (합동까지 고려하면). 코사인 법칙은 cos(C)를 직접 계산하며, arccos는 (0°, 180°) 범위에서 유일한 각을 반환합니다. 모호함이 없습니다.

SAS의 경우, 각이 주어졌으므로 세 번째 변은 유일하게 결정됩니다. 역시 모호함이 없습니다.

반면 SSA(사인 법칙으로 처리됨)의 경우: arcsin은 두 보각 중 하나를 반환하므로, 유효한 것을 수동으로 선택해야 합니다. 코사인 법칙은 관련 범위에서 단일 값을 갖는 arccos를 사용하므로 이를 피합니다.

벡터 형태의 일반화

코사인 법칙은 내적의 기하학적 진술이기도 합니다. 두 벡터 u와 v 사이의 각이 θ일 때:

u · v = |u| · |v| · cos(θ)

전개하고 정리하면: u와 v가 각 θ에서 만나는 삼각형의 두 변이라면, 세 번째 변 w = v − u는 |w|² = |v|² + |u|² − 2|u||v|cos(θ)를 만족합니다. 이는 정확히 코사인 법칙입니다.

이것이 코사인 법칙이 고차원 기하학으로 자연스럽게 확장되는 이유입니다: 그것은 위장된 내적 공식이기 때문입니다.

흔한 실수

• −2ab·cos(C) 항의 부호 오류. 일부 학생들은 +2ab·cos(C)로 씁니다. 공식에는 2ab·cos(C) 앞에 마이너스 부호가 있습니다. 이는 피타고라스 정리로의 축소 과정에서 확인됩니다 (C = 90°일 때 cos(C) = 0이므로 항이 소멸하며, 만약 부호가 +였다면 공식이 올바르게 축소되지 않을 것입니다).
• 예각에만 sin/cos 표를 사용하는 것. 코사인 법칙은 둔각 삼각형을 포함한 모든 삼각형에 적용됩니다. 둔각의 cos 값은 음수이며, 음수의 arccos는 (90°, 180°) 범위의 각을 반환합니다. 공식은 이를 자동으로 처리합니다.
• 어떤 변이 c인지 혼동하는 것. 공식 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)는 C가 c의 대각이어야 하며, a와 b가 C에 인접한 두 변이어야 함을 요구합니다. 이 매칭을 잘못하면 공식은 무의미한 결과를 줍니다.
• c에 대한 제곱근을 잊는 것. 공식은 c²을 제공합니다. c가 아닙니다. 마지막에 √를 적용해야 합니다.