正弦定理計算機
結果
正弦定理計算機 で使用される公式
In-Depth Tutorial: 正弦定理計算機
正弦定理（サインの法則とも呼ばれる）は、三角法における2つの普遍的な三角形求解ツールの一つです。余弦定理と合わせて、この2つの法則は直角三角形だけでなく、あらゆる一般の三角形をカバーします。正弦定理とは、任意の三角形において、辺の長さとその対角の正弦の比が、3辺すべてで等しいというものです。このチュートリアルでは、この法則の内容、使用場面（余弦定理との比較）、各適用ケースでの三角形の解き方、そして有名なSSAの「曖昧な場合」について解説します。
法則の記述
辺を a, b, c、それらに対向する角をそれぞれ A, B, C とする任意の三角形において：
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
この連鎖にあるすべての比は同じ定数に等しく、幾何学的には、その定数は三角形の外接円（3つの頂点をすべて通る一意の円）の直径です。したがって a / sin(A) = 2R となります（ここで R は外接円の半径）。これにより、正弦定理の第4の、あまり使われない形が得られます：
a = 2R · sin(A), b = 2R · sin(B), c = 2R · sin(C)
正弦定理を使用する場合
正弦定理は、対応する辺と角の組（つまり、辺とその対角）が与えられている場合に適用できます。比を設定するにはこの組が必要です。そこから、対角が分かれば他の辺を、対辺が分かれば他の角を求めることができます。
具体的には：
- ASA（角-辺-角）： 2つの角とその間の辺。第3の角は A + B + C = 180° から導かれます。その後、正弦定理を用いて残りの2辺を求めます。
- AAS（角-角-辺）： 2つの角とそのうちの1つに対する対辺。同じアプローチを取ります。
- SSA（辺-辺-角）： 2つの辺とそのうちの1つに対する対角。これは曖昧な場合です — 以下参照。
代わりに余弦定理を使用すべき場合：SSS（3辺）および SAS（2辺と挟まれた角）。これらのケースでは、まだ辺と角の組が知られておらず、余弦定理が適切な最初のステップとなります。
worked example — ASA
A = 50°, B = 60°、およびその間の辺 c = 12 が与えられています。他の2辺を求めてください。
第3の角：C = 180° − 50° − 60° = 70°。
正弦定理より：a/sin(50°) = 12/sin(70°)。a について解く：a = 12 · sin(50°)/sin(70°) ≈ 12 · 0.766/0.940 ≈ 9.78。
同様に：b = 12 · sin(60°)/sin(70°) ≈ 12 · 0.866/0.940 ≈ 11.06。
worked example — AAS
A = 35°, B = 45°, a = 7 が与えられています。c を求めてください。
正弦定理より：7/sin(35°) = c/sin(C)。まず C を計算：C = 180° − 35° − 45° = 100°。次に c = 7 · sin(100°)/sin(35°) ≈ 7 · 0.985/0.574 ≈ 12.02。
曖昧な場合 — SSA
これが最もよく質問されるシナリオです。2つの辺とそのうちの1つに対する対角が与えられた場合、有効な三角形は0個、1個、または2個存在する可能性があります。
設定：辺 a と b、および角 A（辺 a の対角）が与えられています。正弦定理は sin(B) = b · sin(A) / a を与えます。結果には3つのケースがあります：
- sin(B) > 1： 不可能です。三角形は存在しません。辺 a が短すぎて「第3の頂点に届きません」。
- sin(B) = 1： ちょうど1つの三角形が存在し、B = 90° です。一意の直角三角形の場合。
- sin(B) < 1： 2つの候補角度があります：B₁ = arcsin(sin(B))（鋭角）および B₂ = 180° − B₁（鈍角）。どちらも有効である可能性があります — 各候補で A + B₂ < 180° かどうかを確認します。A + B₁ < 180° かつ A + B₂ < 180° の両方が満たされれば、2つの有効な三角形があります。チェックをパスするのが1つだけなら、三角形は1つです。
これは三角形ソルバーに実装されているSSAブランチそのものです。2つの解が存在する場合、両方とも「ambiguous_note」フラグ付きで報告されます。
worked example — 2つの解を持つSSA
a = 6, b = 8, A = 35° が与えられています。B を求めてください。
sin(B) = 8 · sin(35°) / 6 = 8 · 0.5736 / 6 ≈ 0.7648。
B₁ = arcsin(0.7648) ≈ 49.886°。鋭角の候補。
B₂ = 180° − 49.886° ≈ 130.114°。鈍角の候補。
それぞれの A + B を確認：A + B₁ = 35° + 49.886° = 84.886°（180°未満なので有効）。A + B₂ = 35° + 130.114° = 165.114°（これも180°未満なので有効）。どちらも有効です — 与えられた測定値に対して2つの三角形が存在します。
鋭角三角形では C = 180° − 84.886° = 95.114° です。鈍角三角形では C = 180° − 165.114° = 14.886° です。2つの三角形は辺 a と b を共有し、角 A を共有しますが、B と C および辺 c の長さにおいて異なります。
外接円との関係
定数比 a/sin(A) は外接円の直径に等しくなります。これにより、任意の辺とその対角が既知であれば、外接半径 R = a / (2 sin(A)) を迅速に見つけることができます。
逆に、三角形が既知の半径 R の円に内接している場合、任意の頂点角 θ に対して、対辺（弦）の長さは 2R · sin(θ) になります。正弦定理は、円周角の定理を通じて、本質的に円に関する命題です。
一般的な間違い
- sin(A) と A を混同する。 比 a/sin(A) では、角自体ではなく、角の正弦を使用します。正弦を取るのを忘れると、数値は意味のないものになります。
- モードの不整合（度 vs ラジアン）。 当社の電卓は度を想定しています。教科書がラジアンの場合は変換してください。sin(60°) ≈ 0.866 ですが、sin(60ラジアン) ≈ −0.305 です。
- SSS や SAS で正弦定理を使おうとする。 これらのケースでは既知の辺と角の組がありません。最初に余弦定理を使って最初の角を取得し、その後正弦定理に切り替えます。
- 曖昧な場合を無視する。 SSA が与えられた場合、常に2つの解が存在するかどうかを確認してください。多くの教科書の問題では、両方を報告することが期待されています。
- AAA では大きさが決まらないことを忘れる。 3つの角は形状のみを与え、スケール（大きさ）は与えません。少なくとも1つの辺は常に必要です。
よくある質問 – 正弦定理計算機
AAS（2角＋非挟辺）とASA（2角＋挟辺）に使います。SSS・SASの場合は余弦定理を使用してください。
2辺と非挟角がわかっているとき、有効な三角形は0、1、または2つある場合があります。計算機はすべての有効な解を検出して報告します。
はい — 3つの角だけ（AAA）では形のみが決まり、大きさは決まりません。具体的な数値の長さを求めるには少なくとも1辺が必要です。
はい — 無料・無制限です。AI解説は3クレジットで完全な解法プロセスを説明します。
Why a/sin(A) equals 2R — the law's geometric source
The constant ratio in a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) isn't a coincidence; it equals the diameter 2R of the triangle's circumscribed circle. The two-line proof comes from the inscribed angle theorem, and it's worth knowing because it explains why the law works at all.
Draw the triangle inscribed in its circumcircle. Pick any side — say side a opposite angle A — and consider the chord a in the circle. The inscribed angle theorem states that an inscribed angle subtending a chord equals half the central angle subtending the same chord. Specifically, the central angle for chord a is 2A, and the chord length is 2R·sin(A) (basic chord-length formula). Therefore a = 2R·sin(A), which rearranges to a/sin(A) = 2R. The same argument with sides b and c gives the chain.
This means the calculator is implicitly handing you the circumradius whenever you solve a triangle: R = a/(2·sin(A)). For practical use, that radius is exactly the distance from the triangle's circumcenter to each vertex — useful in mechanical drawing for laying out three points that all lie on a known circle, and in computer graphics for fitting a bounding circle to a triangle mesh.
The law extends to spherical geometry — and that's why navigators learned it
On a sphere, the "triangle" has sides that are arcs of great circles, measured in radians (as angular distances). The spherical Law of Sines reads:
sin(a)/sin(A) = sin(b)/sin(B) = sin(c)/sin(C)
Note the sines on both sides — the side lengths are angles too, so they get sined. For a small triangle relative to the sphere's radius, sin(a) ≈ a by Taylor expansion, and the spherical version reduces to the planar one. That's why the planar law works fine for triangles on Earth up to roughly hundreds of kilometers across.
Celestial navigation used this until GPS replaced it in the 1990s — given the angular altitudes of two stars above the horizon, the spherical Law of Sines plus a nautical almanac fixes your ship's position to within a few miles. Pilots still learn the spherical Law of Sines because backup celestial techniques are still part of long-haul flight training in case GPS fails. Spherical trigonometry has a hyperbolic analog too — sinh(a)/sin(A) = sinh(b)/sin(B) = sinh(c)/sin(C) for triangles on a hyperbolic plane — but you'd only encounter that in non-Euclidean geometry coursework or general relativity.
Geometric intuition and edge cases the basic FAQ skips
What does the ambiguous case look like geometrically?
Picture trying to construct a triangle given side a, side b, and angle A opposite a. Draw side b as a horizontal segment, place angle A at one end, and draw a ray from that endpoint at angle A above horizontal — that ray is where the third vertex must lie. Now from the other end of side b, swing an arc of radius a. The third vertex sits at the intersection of the ray and the arc. Depending on lengths, the arc can miss the ray entirely (no triangle), touch it tangentially (one right triangle), or cross it twice (two triangles). The SSA ambiguity isn't an algebraic artifact — it's a real geometric fact about how arcs and rays can meet.
When does the Law of Sines lose numerical precision?
Two situations. First, when an angle is close to 0° or 180°, its sine is close to zero, so dividing by sin(angle) amplifies any input error. A 0.01° measurement error on a 0.5° angle is a 2% error in the answer; the same error on a 60° angle is invisible. Second, in SSA cases where b·sin(A)/a is very close to 1, the two ambiguous-case solutions converge — and which side of 1 the value lands on depends on the last decimal place of your input. For SSA problems near the right-angle boundary, double-check whether your inputs really specify the case you think they do, or compute the triangle two different ways (e.g., also via Law of Cosines once you have one extra value) to verify.
How is this law actually used in surveying?
The classical method is "triangulation from a baseline." Surveyors measure one short baseline very accurately (e.g., 100 m with a calibrated tape), then sight a distant target from each end of the baseline and record the two angles. They now have two angles and the included side — ASA — which the Law of Sines solves in one step to give the distances from each baseline endpoint to the target. Repeating this from new baselines extends the survey across arbitrary terrain. The entire 19th-century mapping of India (the Great Trigonometrical Survey) was built on chained ASA triangulation, and the original survey produced the first accurate height of Mount Everest in 1856.
If I only have two angles, why can't the calculator give numerical sides?
Because two angles determine the triangle's shape but not its scale. A triangle with angles 30°, 60°, 90° is a fixed shape, but it can be drawn at any size — a tiny version inside a notebook and a kilometer-wide version outside both have the same angles. Without at least one side length, every side length scales freely. The third angle is determined (sum to 180°), but no numerical answer for sides is possible. This is why SSS, SAS, AAS, ASA, and SSA work but AAA does not.