사인 법칙 계산기

사인 법칙(또는 사인 규칙)은 삼각법에서 두 가지 보편적인 삼각형 해결 도구 중 하나입니다. 코사인 법칙과 함께 이 두 법칙은 직각삼각형뿐만 아니라 모든 일반 삼각형을 다룹니다. 사인 법칙은 어떤 삼각형이든 세 변의 길이를 그 대각의 사인값으로 나눈 비율이 모두 같다고 명시합니다. 이 튜토리얼에서는 법칙의 내용, 사용 시기(코사인 법칙과의 비교), 각 적용 사례에서 삼각형을 푸는 방법, 그리고 유명한 SSA(변-변-각)의 '모호한 경우'를 단계별로 설명합니다.

법칙의 서술

변 a, b, c와 그 대각 A, B, C를 가진 임의의 삼각형에 대해:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

이 연쇄에 있는 모든 비율은 동일한 상수 값을 가집니다. 기하학적으로 이 상수는 삼각형의 외접원(circumscribed circle)(세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원)의 지름입니다. 따라서 a / sin(A) = 2R이며, 여기서 R은 외접원의 반지름입니다. 이는 사인 법칙의 네 번째이자 덜 사용되는 형태를 제공합니다:

a = 2R · sin(A), b = 2R · sin(B), c = 2R · sin(C)

사인 법칙 사용 시기

사인 법칙은 일치하는 변-각 쌍(matched side-angle pair), 즉 변과 그 대각을 모두 알고 있을 때 적용됩니다. 비율을 설정하려면 이 쌍이 필요합니다. 이를 바탕으로 대각을 알면 다른 변을 구할 수 있고, 대변을 알면 다른 각을 구할 수 있습니다.

구체적으로 다음과 같은 경우입니다:

• ASA(각-변-각, Angle-Side-Angle): 두 각과 그 사이 변. 세 번째 각은 A + B + C = 180° 공식을 통해 구합니다. 이후 사인 법칙으로 나머지 두 변을 구합니다.
• AAS(각-각-변, Angle-Angle-Side): 두 각과 그 중 하나의 대변. 동일한 접근 방식을 사용합니다.
• SSA(변-변-각, Side-Side-Angle): 두 변과 그 중 하나의 대각. 이것이 바로 모호한 경우(ambiguous case)입니다. 아래 참조.

대신 코사인 법칙을 사용해야 하는 경우: SSS(세 변)와 SAS(두 변과 끼인각). 이러한 경우에는 아직 알려진 변-각 쌍이 없으며, 코사인 법칙이 올바른 시작점이 됩니다.

풀이 예시 — ASA

A = 50°, B = 60°, 그리고 그 사이의 변 c = 12가 주어졌습니다. 나머지 두 변을 구하십시오.

세 번째 각: C = 180° − 50° − 60° = 70°.

사인 법칙에 따라: a/sin(50°) = 12/sin(70°). a를 풀면: a = 12 · sin(50°)/sin(70°) ≈ 12 · 0.766/0.940 ≈ 9.78.

마찬가지로: b = 12 · sin(60°)/sin(70°) ≈ 12 · 0.866/0.940 ≈ 11.06.

풀이 예시 — AAS

A = 35°, B = 45°, a = 7이 주어졌습니다. c를 구하십시오.

사인 법칙에 따라: 7/sin(35°) = c/sin(C). 먼저 C를 계산합니다: C = 180° − 35° − 45° = 100°. 그런 다음 c = 7 · sin(100°)/sin(35°) ≈ 7 · 0.985/0.574 ≈ 12.02.

모호한 경우 — SSA

이것은 가장 자주 묻히는 시나리오입니다. 두 변과 그 중 하나의 대각이 주어졌을 때, 유효한 삼각형은 없거나(0개), 하나이거나(1개), 두 개일 수 있습니다(2개).

설정: 변 a와 b가 주어지고, 각 A(변 a의 대각)가 주어집니다. 사인 법칙은 sin(B) = b · sin(A) / a를 제공합니다. 결과에는 세 가지 경우가 있습니다:

• sin(B) > 1: 불가능합니다. 삼각형이 존재하지 않습니다. 변 a가 제3의 꼭짓점에 "도달"하기에 너무 짧습니다.
• sin(B) = 1: 정확히 하나의 삼각형이 존재하며, B = 90°입니다. 유일한 직각삼각형 경우입니다.
• sin(B) < 1: 두 개의 후보 각이 있습니다: B₁ = arcsin(sin(B))(예각) 및 B₂ = 180° − B₁(둔각). 둘 다 유효할 수 있습니다. 각 후보에서 A + B₂ < 180°인지 확인하십시오. 만약 A + B₁ < 180°이고 A + B₂ < 180°라면 유효한 삼각형이 두 개입니다. 검사 하나만 통과하면 삼각형이 하나입니다.

이는 삼각형 솔버(Triangle Solver)에 구현된 SSA 분기와 정확히 일치합니다. 두 해가 존재할 경우, 둘 다 "ambiguous_note" 플래그와 함께 보고됩니다.

풀이 예시 — 두 해를 갖는 SSA

a = 6, b = 8, A = 35°가 주어졌습니다. B를 구하십시오.

sin(B) = 8 · sin(35°) / 6 = 8 · 0.5736 / 6 ≈ 0.7648.

B₁ = arcsin(0.7648) ≈ 49.886°. 예각 후보.

B₂ = 180° − 49.886° ≈ 130.114°. 둔각 후보.

각각에 대해 A + B를 확인합니다: A + B₁ = 35° + 49.886° = 84.886° (180°보다 작으므로 유효). A + B₂ = 35° + 130.114° = 165.114° (역시 180°보다 작으므로 유효). 둘 다 유효하므로 주어진 측정값을 가진 두 삼각형이 존재합니다.

예각 삼각형의 C는 180° − 84.886° = 95.114°입니다. 둔각 삼각형의 C는 180° − 165.114° = 14.886°입니다. 두 삼각형은 변 a와 b를 공유하고 각 A를 공유하지만, B와 C 및 변 c의 길이에서는 다릅니다.

외접원과의 관계

상수 비율 a/sin(A)는 외접원의 지름과 같습니다. 이는 임의의 변과 그 대각을 알면 외접원 반지름 R = a / (2 sin(A))을 빠르게 찾을 수 있게 해줍니다.

반대로, 삼각형이 알려진 반지름 R을 가진 원에 내접한다면, 임의의 꼭짓점 각 θ에 대해 그 대변(현)의 길이는 2R · sin(θ)입니다. 사인 법칙은 근본적으로 원주각 정리를 통해 표현되는 원에 관한 명제입니다.

흔한 실수

• sin(A)와 A를 혼동함. 비율 a/sin(A)는 각 자체가 아니라 각의 사인값(SINE)을 사용합니다. 사인을 취하는 것을 잊으면 숫자가 엉망이 됩니다.
• 모드 불일치(도 vs 라디안). 우리 계산기는 도(degrees)를 기대합니다. 교과서가 라디안(radians) 단위로 되어 있다면 변환하십시오. sin(60°) ≈ 0.866이지만 sin(60 라디안) ≈ −0.305입니다.
• SSS 또는 SAS에 사인 법칙을 사용하려고 함. 이러한 경우에는 알려진 변-각 쌍이 없습니다. 먼저 코사인 법칙을 사용하여 첫 번째 각을 구한 후 사인 법칙으로 전환하십시오.
• 모호한 경우를 무시함. SSA가 주어졌을 때는 항상 두 해가 존재하는지 확인하십시오. 많은 교과서 문제는 두 해 모두 보고하기를 요구합니다.
• AAA는 크기를 결정하지 않는다는 것을 잊음. 세 각은 모양만 제공하고 크기는 제공하지 않습니다. 항상 적어도 하나의 변이 필요합니다.