사인 법칙 계산기
결과
사인 법칙 계산기에서 사용된 공식
In-Depth Tutorial: 사인 법칙 계산기
사인 법칙(또는 사인 규칙)은 삼각법에서 두 가지 보편적인 삼각형 해결 도구 중 하나입니다. 코사인 법칙과 함께 이 두 법칙은 직각삼각형뿐만 아니라 모든 일반 삼각형을 다룹니다. 사인 법칙은 어떤 삼각형이든 세 변의 길이를 그 대각의 사인값으로 나눈 비율이 모두 같다고 명시합니다. 이 튜토리얼에서는 법칙의 내용, 사용 시기(코사인 법칙과의 비교), 각 적용 사례에서 삼각형을 푸는 방법, 그리고 유명한 SSA(변-변-각)의 '모호한 경우'를 단계별로 설명합니다.
법칙의 서술
변 a, b, c와 그 대각 A, B, C를 가진 임의의 삼각형에 대해:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
이 연쇄에 있는 모든 비율은 동일한 상수 값을 가집니다. 기하학적으로 이 상수는 삼각형의 외접원(circumscribed circle)(세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원)의 지름입니다. 따라서 a / sin(A) = 2R이며, 여기서 R은 외접원의 반지름입니다. 이는 사인 법칙의 네 번째이자 덜 사용되는 형태를 제공합니다:
a = 2R · sin(A), b = 2R · sin(B), c = 2R · sin(C)
사인 법칙 사용 시기
사인 법칙은 일치하는 변-각 쌍(matched side-angle pair), 즉 변과 그 대각을 모두 알고 있을 때 적용됩니다. 비율을 설정하려면 이 쌍이 필요합니다. 이를 바탕으로 대각을 알면 다른 변을 구할 수 있고, 대변을 알면 다른 각을 구할 수 있습니다.
구체적으로 다음과 같은 경우입니다:
- ASA(각-변-각, Angle-Side-Angle): 두 각과 그 사이 변. 세 번째 각은 A + B + C = 180° 공식을 통해 구합니다. 이후 사인 법칙으로 나머지 두 변을 구합니다.
- AAS(각-각-변, Angle-Angle-Side): 두 각과 그 중 하나의 대변. 동일한 접근 방식을 사용합니다.
- SSA(변-변-각, Side-Side-Angle): 두 변과 그 중 하나의 대각. 이것이 바로 모호한 경우(ambiguous case)입니다. 아래 참조.
대신 코사인 법칙을 사용해야 하는 경우: SSS(세 변)와 SAS(두 변과 끼인각). 이러한 경우에는 아직 알려진 변-각 쌍이 없으며, 코사인 법칙이 올바른 시작점이 됩니다.
풀이 예시 — ASA
A = 50°, B = 60°, 그리고 그 사이의 변 c = 12가 주어졌습니다. 나머지 두 변을 구하십시오.
세 번째 각: C = 180° − 50° − 60° = 70°.
사인 법칙에 따라: a/sin(50°) = 12/sin(70°). a를 풀면: a = 12 · sin(50°)/sin(70°) ≈ 12 · 0.766/0.940 ≈ 9.78.
마찬가지로: b = 12 · sin(60°)/sin(70°) ≈ 12 · 0.866/0.940 ≈ 11.06.
풀이 예시 — AAS
A = 35°, B = 45°, a = 7이 주어졌습니다. c를 구하십시오.
사인 법칙에 따라: 7/sin(35°) = c/sin(C). 먼저 C를 계산합니다: C = 180° − 35° − 45° = 100°. 그런 다음 c = 7 · sin(100°)/sin(35°) ≈ 7 · 0.985/0.574 ≈ 12.02.
모호한 경우 — SSA
이것은 가장 자주 묻히는 시나리오입니다. 두 변과 그 중 하나의 대각이 주어졌을 때, 유효한 삼각형은 없거나(0개), 하나이거나(1개), 두 개일 수 있습니다(2개).
설정: 변 a와 b가 주어지고, 각 A(변 a의 대각)가 주어집니다. 사인 법칙은 sin(B) = b · sin(A) / a를 제공합니다. 결과에는 세 가지 경우가 있습니다:
- sin(B) > 1: 불가능합니다. 삼각형이 존재하지 않습니다. 변 a가 제3의 꼭짓점에 "도달"하기에 너무 짧습니다.
- sin(B) = 1: 정확히 하나의 삼각형이 존재하며, B = 90°입니다. 유일한 직각삼각형 경우입니다.
- sin(B) < 1: 두 개의 후보 각이 있습니다: B₁ = arcsin(sin(B))(예각) 및 B₂ = 180° − B₁(둔각). 둘 다 유효할 수 있습니다. 각 후보에서 A + B₂ < 180°인지 확인하십시오. 만약 A + B₁ < 180°이고 A + B₂ < 180°라면 유효한 삼각형이 두 개입니다. 검사 하나만 통과하면 삼각형이 하나입니다.
이는 삼각형 솔버(Triangle Solver)에 구현된 SSA 분기와 정확히 일치합니다. 두 해가 존재할 경우, 둘 다 "ambiguous_note" 플래그와 함께 보고됩니다.
풀이 예시 — 두 해를 갖는 SSA
a = 6, b = 8, A = 35°가 주어졌습니다. B를 구하십시오.
sin(B) = 8 · sin(35°) / 6 = 8 · 0.5736 / 6 ≈ 0.7648.
B₁ = arcsin(0.7648) ≈ 49.886°. 예각 후보.
B₂ = 180° − 49.886° ≈ 130.114°. 둔각 후보.
각각에 대해 A + B를 확인합니다: A + B₁ = 35° + 49.886° = 84.886° (180°보다 작으므로 유효). A + B₂ = 35° + 130.114° = 165.114° (역시 180°보다 작으므로 유효). 둘 다 유효하므로 주어진 측정값을 가진 두 삼각형이 존재합니다.
예각 삼각형의 C는 180° − 84.886° = 95.114°입니다. 둔각 삼각형의 C는 180° − 165.114° = 14.886°입니다. 두 삼각형은 변 a와 b를 공유하고 각 A를 공유하지만, B와 C 및 변 c의 길이에서는 다릅니다.
외접원과의 관계
상수 비율 a/sin(A)는 외접원의 지름과 같습니다. 이는 임의의 변과 그 대각을 알면 외접원 반지름 R = a / (2 sin(A))을 빠르게 찾을 수 있게 해줍니다.
반대로, 삼각형이 알려진 반지름 R을 가진 원에 내접한다면, 임의의 꼭짓점 각 θ에 대해 그 대변(현)의 길이는 2R · sin(θ)입니다. 사인 법칙은 근본적으로 원주각 정리를 통해 표현되는 원에 관한 명제입니다.
흔한 실수
- sin(A)와 A를 혼동함. 비율 a/sin(A)는 각 자체가 아니라 각의 사인값(SINE)을 사용합니다. 사인을 취하는 것을 잊으면 숫자가 엉망이 됩니다.
- 모드 불일치(도 vs 라디안). 우리 계산기는 도(degrees)를 기대합니다. 교과서가 라디안(radians) 단위로 되어 있다면 변환하십시오. sin(60°) ≈ 0.866이지만 sin(60 라디안) ≈ −0.305입니다.
- SSS 또는 SAS에 사인 법칙을 사용하려고 함. 이러한 경우에는 알려진 변-각 쌍이 없습니다. 먼저 코사인 법칙을 사용하여 첫 번째 각을 구한 후 사인 법칙으로 전환하십시오.
- 모호한 경우를 무시함. SSA가 주어졌을 때는 항상 두 해가 존재하는지 확인하십시오. 많은 교과서 문제는 두 해 모두 보고하기를 요구합니다.
- AAA는 크기를 결정하지 않는다는 것을 잊음. 세 각은 모양만 제공하고 크기는 제공하지 않습니다. 항상 적어도 하나의 변이 필요합니다.
자주 묻는 질문 – 사인 법칙 계산기
AAS(두 각과 끼지 않은 변)와 ASA(두 각과 끼인 변)에 사용하십시오. SSS 또는 SAS 경우에는 코사인 법칙을 사용하십시오.
두 변과 끼지 않은 각을 알 때, 유효한 삼각형이 0개, 1개, 또는 2개 존재할 수 있습니다. 계산기는 모든 유효한 해를 감지하여 보고합니다.
네 — 세 각만으로는(AAA) 모양만 결정되고 크기는 결정되지 않습니다. 구체적인 길이를 구하려면 최소한 한 변의 길이가 필요합니다.
네 — 무료이며 무제한입니다. AI Solve는 3크레딧을 사용하여 전체 풀이 과정을 설명합니다.
Why a/sin(A) equals 2R — the law's geometric source
The constant ratio in a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) isn't a coincidence; it equals the diameter 2R of the triangle's circumscribed circle. The two-line proof comes from the inscribed angle theorem, and it's worth knowing because it explains why the law works at all.
Draw the triangle inscribed in its circumcircle. Pick any side — say side a opposite angle A — and consider the chord a in the circle. The inscribed angle theorem states that an inscribed angle subtending a chord equals half the central angle subtending the same chord. Specifically, the central angle for chord a is 2A, and the chord length is 2R·sin(A) (basic chord-length formula). Therefore a = 2R·sin(A), which rearranges to a/sin(A) = 2R. The same argument with sides b and c gives the chain.
This means the calculator is implicitly handing you the circumradius whenever you solve a triangle: R = a/(2·sin(A)). For practical use, that radius is exactly the distance from the triangle's circumcenter to each vertex — useful in mechanical drawing for laying out three points that all lie on a known circle, and in computer graphics for fitting a bounding circle to a triangle mesh.
The law extends to spherical geometry — and that's why navigators learned it
On a sphere, the "triangle" has sides that are arcs of great circles, measured in radians (as angular distances). The spherical Law of Sines reads:
sin(a)/sin(A) = sin(b)/sin(B) = sin(c)/sin(C)
Note the sines on both sides — the side lengths are angles too, so they get sined. For a small triangle relative to the sphere's radius, sin(a) ≈ a by Taylor expansion, and the spherical version reduces to the planar one. That's why the planar law works fine for triangles on Earth up to roughly hundreds of kilometers across.
Celestial navigation used this until GPS replaced it in the 1990s — given the angular altitudes of two stars above the horizon, the spherical Law of Sines plus a nautical almanac fixes your ship's position to within a few miles. Pilots still learn the spherical Law of Sines because backup celestial techniques are still part of long-haul flight training in case GPS fails. Spherical trigonometry has a hyperbolic analog too — sinh(a)/sin(A) = sinh(b)/sin(B) = sinh(c)/sin(C) for triangles on a hyperbolic plane — but you'd only encounter that in non-Euclidean geometry coursework or general relativity.
Geometric intuition and edge cases the basic FAQ skips
What does the ambiguous case look like geometrically?
Picture trying to construct a triangle given side a, side b, and angle A opposite a. Draw side b as a horizontal segment, place angle A at one end, and draw a ray from that endpoint at angle A above horizontal — that ray is where the third vertex must lie. Now from the other end of side b, swing an arc of radius a. The third vertex sits at the intersection of the ray and the arc. Depending on lengths, the arc can miss the ray entirely (no triangle), touch it tangentially (one right triangle), or cross it twice (two triangles). The SSA ambiguity isn't an algebraic artifact — it's a real geometric fact about how arcs and rays can meet.
When does the Law of Sines lose numerical precision?
Two situations. First, when an angle is close to 0° or 180°, its sine is close to zero, so dividing by sin(angle) amplifies any input error. A 0.01° measurement error on a 0.5° angle is a 2% error in the answer; the same error on a 60° angle is invisible. Second, in SSA cases where b·sin(A)/a is very close to 1, the two ambiguous-case solutions converge — and which side of 1 the value lands on depends on the last decimal place of your input. For SSA problems near the right-angle boundary, double-check whether your inputs really specify the case you think they do, or compute the triangle two different ways (e.g., also via Law of Cosines once you have one extra value) to verify.
How is this law actually used in surveying?
The classical method is "triangulation from a baseline." Surveyors measure one short baseline very accurately (e.g., 100 m with a calibrated tape), then sight a distant target from each end of the baseline and record the two angles. They now have two angles and the included side — ASA — which the Law of Sines solves in one step to give the distances from each baseline endpoint to the target. Repeating this from new baselines extends the survey across arbitrary terrain. The entire 19th-century mapping of India (the Great Trigonometrical Survey) was built on chained ASA triangulation, and the original survey produced the first accurate height of Mount Everest in 1856.
If I only have two angles, why can't the calculator give numerical sides?
Because two angles determine the triangle's shape but not its scale. A triangle with angles 30°, 60°, 90° is a fixed shape, but it can be drawn at any size — a tiny version inside a notebook and a kilometer-wide version outside both have the same angles. Without at least one side length, every side length scales freely. The third angle is determined (sum to 180°), but no numerical answer for sides is possible. This is why SSS, SAS, AAS, ASA, and SSA work but AAA does not.