Calculadora de geometría analítica del círculo

La Calculadora de Geometría Analítica del Círculo trabaja con la ecuación algebraica de un círculo en el plano cartesiano: no solo su área y circunferencia, sino también su ubicación, las coordenadas de su centro y radio, y cómo expresarlo en diferentes formas equivalentes. Este tutorial cubre la forma estándar (forma centro-radio), la forma general, cómo convertir entre ellas completando cuadrados y cómo recuperar la ecuación a partir de puntos dados.

La forma estándar de un círculo

Un círculo con centro (h, k) y radio r tiene la ecuación:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Esto se llama forma estándar o forma centro-radio. La intuición: un punto (x, y) está en el círculo si y solo si su distancia desde el centro (h, k) es igual a r. Por la fórmula de la distancia, esa distancia es √((x − h)² + (y − k)²). Igualar esa distancia a r y elevar ambos lados al cuadrado da la forma estándar anterior.

Lectura de la ecuación:

• Los signos cambian: (x − h) significa que el centro tiene coordenada x +h, no −h. Por lo tanto, (x − 3)² + (y − 5)² = 16 tiene centro (3, 5), no (−3, −5).
• El lado derecho es r², no r. El radio de (x − 3)² + (y − 5)² = 16 es √16 = 4.

Ejemplo — Construir una ecuación en forma estándar

Dado: centro (2, −3), radio 5. Ecuación: (x − 2)² + (y − (−3))² = 5², que se simplifica a (x − 2)² + (y + 3)² = 25.

La forma general de un círculo

Si expandes la forma estándar (x − h)² + (y − k)² = r² y reorganizas:

x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r²

x² + y² + (−2h)x + (−2k)y + (h² + k² − r²) = 0

Haciendo D = −2h, E = −2k, F = h² + k² − r², la ecuación se convierte en:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Esta es la forma general. Dados D, E, F, puedes recuperar el centro y el radio:

• h = −D/2
• k = −E/2
• r = √((D/2)² + (E/2)² − F) = √(D² + E² − 4F)/2

La fórmula del radio requiere que el valor bajo la raíz cuadrada sea positivo: D² + E² > 4F. Si es exactamente cero, el "círculo" es un solo punto (degenerado). Si es negativo, la ecuación no tiene solución real (un "círculo imaginario").

Conversión estándar ↔ general

Estándar → General: expande los cuadrados y agrupa términos semejantes.

Ejemplo: (x − 1)² + (y + 2)² = 9 → x² − 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9 → x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0. Entonces D = −2, E = 4, F = −4.

General → Estándar: completa el cuadrado para x e y por separado.

Ejemplo: x² + y² + 6x − 8y + 9 = 0.

• Agrupa los términos de x e y: (x² + 6x) + (y² − 8y) = −9
• Completa el cuadrado: toma la mitad del coeficiente, elévalo al cuadrado y añádelo a ambos lados. La mitad de 6 es 3, 3² = 9. La mitad de −8 es −4, (−4)² = 16.
• (x² + 6x + 9) + (y² − 8y + 16) = −9 + 9 + 16
• (x + 3)² + (y − 4)² = 16

Entonces este círculo tiene centro (−3, 4) y radio √16 = 4.

Encontrar la ecuación a partir de puntos dados

Caso 1 — Centro + un punto en el círculo. Dado el centro (h, k) y cualquier punto (x₀, y₀) en el círculo, el radio es la distancia desde el centro hasta ese punto: r = √((x₀ − h)² + (y₀ − k)²). Sustituye en la forma estándar.

Caso 2 — Tres puntos en el círculo. Cualquier tres puntos no colineales determinan un círculo único. Sustituye cada punto en la forma general para obtener tres ecuaciones en D, E, F:

x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0
x₂² + y₂² + Dx₂ + Ey₂ + F = 0
x₃² + y₃² + Dx₃ + Ey₃ + F = 0

Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Resuélvelas por eliminación, sustitución o regla de Cramer. El botón Resolver IA de esta calculadora puede guiarte paso a paso: describe los tres puntos y la IA configura el sistema y lo resuelve paso a paso.

Caso 3 — Dos extremos de un diámetro. El centro es el punto medio de los dos extremos (usa la fórmula del punto medio), y el radio es la mitad de la distancia entre ellos.

Qué puede salir mal

• Tres puntos colineales no definen un círculo: definen una línea. El sistema de ecuaciones será inconsistente o singular.
• Tres puntos idénticos no son tres puntos distintos: definen infinitos círculos que pasan por ese punto.
• D² + E² < 4F en forma general: no existe ningún círculo real. La ecuación tiene la forma algebraica de un círculo, pero ningún par (x, y) real la satisface.

Significado geométrico de la ecuación

La forma estándar tiene sentido geométrico inmediato: todo círculo es el conjunto de puntos a una distancia fija de un centro fijo. La forma general es el mismo conjunto de puntos escrito de manera diferente: algebraicamente conveniente para algunos cálculos (especialmente cuando tienes un sistema que mezcla círculos y líneas), pero geométricamente opaco.

Dos hechos que debes interiorizar:

• El coeficiente de x² y y² debe ser igual (y distinto de cero) para que la ecuación describa un círculo. Si difieren, podrías tener una elipse, hipérbola o parábola en su lugar.
• No hay término cruzado xy en la ecuación de un círculo. Un término xy inclina la cónica: podrías tener una elipse rotada.

Errores comunes

• Cambio de signo en el centro. (x − 3)² significa h = +3, no −3. Leer la forma estándar requiere negar lo que está junto a x e y.
• Olvídarse de sacar la raíz cuadrada del lado derecho. Si la ecuación dice = 49, el radio es 7, no 49.
• Completar el cuadrado solo a medias. Debes (a) tomar la mitad del coeficiente, (b) elevarlo al cuadrado, (c) añadirlo a ambos lados. Saltarse el paso (c) invalida la ecuación.
• Tratar la forma general como si fuera la forma estándar. x² + y² + 4x − 6y = 12 NO es (x + 4)² + (y − 6)² = 12. Primero debes completar el cuadrado para extraer el centro.