Calculateur de géométrie analytique du cercle

La calculatrice de géométrie analytique du cercle fonctionne avec l'équation algébrique d'un cercle dans le plan cartésien — pas seulement son aire et sa circonférence, mais aussi sa position, les coordonnées de son centre et de son rayon, ainsi que la manière de l'exprimer sous différentes formes équivalentes. Ce tutoriel couvre la forme standard (forme centre-rayon), la forme générale, comment passer de l'une à l'autre par la méthode de complétion du carré, et comment retrouver l'équation à partir de points donnés.

La forme standard d'un cercle

Un cercle de centre (h, k) et de rayon r a pour équation :

(x − h)² + (y − k)² = r²

C'est ce qu'on appelle la forme standard ou forme centre-rayon. L'intuition : un point (x, y) appartient au cercle si et seulement si sa distance au centre (h, k) est égale à r. D'après la formule de la distance, cette distance vaut √((x − h)² + (y − k)²). En égalant cette distance à r et en élevant les deux membres au carré, on obtient la forme standard ci-dessus.

Lecture de l'équation :

• Les signes s'inversent : (x − h) signifie que l'abscisse du centre est +h, et non −h. Ainsi, (x − 3)² + (y − 5)² = 16 a pour centre (3, 5), et non (−3, −5).
• Le membre de droite est r², et non r. Le rayon de (x − 3)² + (y − 5)² = 16 est √16 = 4.

Exemple — Construire une équation sous forme standard

Données : centre (2, −3), rayon 5. Équation : (x − 2)² + (y − (−3))² = 5², qui se simplifie en (x − 2)² + (y + 3)² = 25.

La forme générale d'un cercle

Si vous développez la forme standard (x − h)² + (y − k)² = r² et réorganisez les termes :

x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r²

x² + y² + (−2h)x + (−2k)y + (h² + k² − r²) = 0

En posant D = −2h, E = −2k et F = h² + k² − r², l'équation devient :

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

C'est la forme générale. Connaissant D, E et F, on peut retrouver le centre et le rayon :

• h = −D/2
• k = −E/2
• r = √((D/2)² + (E/2)² − F) = √(D² + E² − 4F)/2

La formule du rayon exige que la valeur sous la racine carrée soit positive : D² + E² > 4F. Si elle est exactement nulle, le « cercle » est réduit à un seul point (cas dégénéré). Si elle est négative, l'équation n'a pas de solution réelle (un « cercle imaginaire »).

Conversion entre forme standard et forme générale

Standard → Générale : développer les carrés et regrouper les termes semblables.

Exemple : (x − 1)² + (y + 2)² = 9 → x² − 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9 → x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0. Donc D = −2, E = 4, F = −4.

Générale → Standard : compléter le carré pour x et y séparément.

Exemple : x² + y² + 6x − 8y + 9 = 0.

• Grouper les termes en x et en y : (x² + 6x) + (y² − 8y) = −9
• Compléter le carré : prendre la moitié du coefficient, la mettre au carré, et ajouter ce résultat aux deux membres. La moitié de 6 est 3, 3² = 9. La moitié de −8 est −4, (−4)² = 16.
• (x² + 6x + 9) + (y² − 8y + 16) = −9 + 9 + 16
• (x + 3)² + (y − 4)² = 16

Ce cercle a donc pour centre (−3, 4) et pour rayon √16 = 4.

Trouver l'équation à partir de points donnés

Cas 1 — Centre + un point sur le cercle. Étant donné le centre (h, k) et un point quelconque (x₀, y₀) situé sur le cercle, le rayon est la distance entre le centre et ce point : r = √((x₀ − h)² + (y₀ − k)²). Remplacer dans la forme standard.

Cas 2 — Trois points sur le cercle. Trois points non alignés déterminent un cercle unique. Substituer chaque point dans la forme générale pour obtenir trois équations à trois inconnues D, E, F :

x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0
x₂² + y₂² + Dx₂ + Ey₂ + F = 0
x₃² + y₃² + Dx₃ + Ey₃ + F = 0

Trois équations linéaires à trois inconnues. Résoudre par élimination, substitution ou règle de Cramer. Le bouton Résoudre IA de cette calculatrice peut vous guider étape par étape — décrivez les trois points et l'IA mettra en place le système et le résoudra progressivement.

Cas 3 — Deux extrémités d'un diamètre. Le centre est le milieu des deux extrémités (utilisez la formule du milieu), et le rayon est la moitié de la distance entre ces deux points.

Erreurs fréquentes

• Trois points alignés ne définissent pas un cercle — ils définissent une droite. Le système d'équations sera alors incompatible ou singulier.
• Trois points identiques ne constituent pas trois points distincts — ils définissent une infinité de cercles passant par ce point.
• D² + E² < 4F dans la forme générale : aucun cercle réel n'existe. L'équation a la forme algébrique d'un cercle, mais aucune paire réelle (x, y) ne la satisfait.

Sens géométrique de l'équation

La forme standard a un sens géométrique immédiat : tout cercle est l'ensemble des points situés à une distance fixe d'un centre fixe. La forme générale représente le même ensemble de points écrit différemment — algébriquement pratique pour certains calculs (notamment lorsque le système mélange cercles et droites), mais géométriquement moins évidente.

Deux faits à retenir :

• Les coefficients de x² et y² doivent être égaux (et non nuls) pour que l'équation représente un cercle. S'ils diffèrent, il peut s'agir d'une ellipse, d'une hyperbole ou d'une parabole.
• Il n'y a pas de terme croisé xy dans l'équation d'un cercle. Un terme xy incline la conique — il peut s'agir d'une ellipse tournée.

Erreurs courantes

• Inversion de signe pour le centre. (x − 3)² signifie h = +3, et non −3. Pour lire la forme standard, il faut changer le signe de ce qui accompagne x et y.
• Oublier de prendre la racine carrée du membre de droite. Si l'équation indique = 49, le rayon est 7, et non 49.
• Compléter le carré à moitié seulement. Il faut (a) prendre la moitié du coefficient, (b) le mettre au carré, (c) ajouter ce résultat aux deux membres. Ignorer l'étape (c) invalide l'équation.
• Traiter la forme générale comme une forme standard. x² + y² + 4x − 6y = 12 n'est PAS (x + 4)² + (y − 6)² = 12. Il faut d'abord compléter le carré pour extraire le centre.