Calculadora de geometria analítica do círculo

A Calculadora de Geometria Analítica de Círculos trabalha com a equação algébrica de um círculo no plano cartesiano — não apenas sua área e comprimento, mas também sua posição, qual é seu centro e raio, e como expressá-la em diferentes formas equivalentes. Este tutorial cobre a forma padrão (forma centro-raio), a forma geral, como converter entre elas completando o quadrado e como recuperar a equação a partir de pontos dados.

A forma padrão de um círculo

Um círculo com centro (h, k) e raio r tem a equação:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Esta é chamada de forma padrão ou forma centro-raio. A intuição: um ponto (x, y) está no círculo se, e somente se, sua distância do centro (h, k) for igual a r. Pela fórmula da distância, essa distância é √((x − h)² + (y − k)²). Igualar essa distância a r e elevar ambos os lados ao quadrado resulta na forma padrão acima.

Lendo a equação:

• Os sinais invertem: (x − h) significa que o centro tem coordenada x +h, não −h. Portanto, (x − 3)² + (y − 5)² = 16 tem centro (3, 5), não (−3, −5).
• O lado direito é r², não r. O raio de (x − 3)² + (y − 5)² = 16 é √16 = 4.

Exemplo — Construir uma equação na forma padrão

Dado: centro (2, −3), raio 5. Equação: (x − 2)² + (y − (−3))² = 5², que se simplifica para (x − 2)² + (y + 3)² = 25.

A forma geral de um círculo

Se você expandir a forma padrão (x − h)² + (y − k)² = r² e rearranjar:

x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r²

x² + y² + (−2h)x + (−2k)y + (h² + k² − r²) = 0

Definindo D = −2h, E = −2k, F = h² + k² − r², a equação torna-se:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Esta é a forma geral. Dados D, E, F, você pode recuperar o centro e o raio:

• h = −D/2
• k = −E/2
• r = √((D/2)² + (E/2)² − F) = √(D² + E² − 4F)/2

A fórmula do raio requer que o valor sob a raiz quadrada seja positivo: D² + E² > 4F. Se for exatamente zero, o "círculo" é um único ponto (degenerado). Se for negativo, a equação não tem solução real (um "círculo imaginário").

Convertendo padrão ↔ geral

Padrão → Geral: expanda os quadrados e agrupe termos semelhantes.

Exemplo: (x − 1)² + (y + 2)² = 9 → x² − 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9 → x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0. Então D = −2, E = 4, F = −4.

Geral → Padrão: complete o quadrado para x e y separadamente.

Exemplo: x² + y² + 6x − 8y + 9 = 0.

• Agrupe os termos de x e y: (x² + 6x) + (y² − 8y) = −9
• Complete o quadrado: pegue metade do coeficiente, eleve ao quadrado e adicione a ambos os lados. Metade de 6 é 3, 3² = 9. Metade de −8 é −4, (−4)² = 16.
• (x² + 6x + 9) + (y² − 8y + 16) = −9 + 9 + 16
• (x + 3)² + (y − 4)² = 16

Portanto, este círculo tem centro (−3, 4) e raio √16 = 4.

Encontrando a equação a partir de pontos dados

Caso 1 — Centro + um ponto no círculo. Dado o centro (h, k) e qualquer ponto (x₀, y₀) no círculo, o raio é a distância do centro até esse ponto: r = √((x₀ − h)² + (y₀ − k)²). Substitua na forma padrão.

Caso 2 — Três pontos no círculo. Quaisquer três pontos não colineares determinam um círculo único. Substitua cada ponto na forma geral para obter três equações em D, E, F:

x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0
x₂² + y₂² + Dx₂ + Ey₂ + F = 0
x₃² + y₃² + Dx₃ + Ey₃ + F = 0

Três equações lineares em três incógnitas. Resolva por eliminação, substituição ou regra de Cramer. O botão Resolver IA nesta calculadora pode guiá-lo nisso — descreva os três pontos e a IA configura o sistema e o resolve passo a passo.

Caso 3 — Dois extremos de um diâmetro. O centro é o ponto médio dos dois extremos (use a fórmula do ponto médio), e o raio é metade da distância entre eles.

O que pode dar errado

• Três pontos colineares não definem um círculo — eles definem uma linha. O sistema de equações será inconsistente ou singular.
• Três pontos idênticos não são três pontos — eles definem infinitos círculos passando por aquele ponto.
• D² + E² < 4F na forma geral: não existe nenhum círculo real. A equação tem a forma algébrica de um círculo, mas nenhum (x, y) real a satisfaz.

Significado geométrico da equação

A forma padrão tem sentido geométrico imediato: todo círculo é o conjunto de pontos a uma distância fixa de um centro fixo. A forma geral é o mesmo conjunto de pontos escrito de maneira diferente — algebricamente conveniente para alguns cálculos (especialmente quando você tem um sistema que mistura círculos e retas), geometricamente opaco.

Dois fatos para internalizar:

• O coeficiente de x² e y² deve ser igual (e não nulo) para que a equação descreva um círculo. Se forem diferentes, você pode ter uma elipse, hipérbole ou parábola em vez disso.
• Não há termo cruzado xy em uma equação de círculo. Um termo xy inclina a côncava — você pode ter uma elipse rotacionada.

Erros comuns

• Inversão de sinal no centro. (x − 3)² significa h = +3, não −3. Ler a forma padrão exige negar o que está ao lado de x e y.
• Esquecer de tirar a raiz quadrada do lado direito. Se a equação diz = 49, o raio é 7, não 49.
• Completando o quadrado apenas pela metade. Você deve (a) pegar metade do coeficiente, (b) elevar ao quadrado, (c) adicionar a ambos os lados. Pular o passo (c) quebra a equação.
• Tratando a forma geral como uma forma padrão. x² + y² + 4x − 6y = 12 NÃO É (x + 4)² + (y − 6)² = 12. Você precisa completar o quadrado primeiro para extrair o centro.