Calculadora de dilatación geométrica

La Calculadora de Dilatación Geométrica maneja la dilatación desde cualquier punto central (no solo el origen) mediante cualquier factor de escala distinto de cero. Mientras que la genérica Calculadora de Transformaciones Geométricas asume una dilatación centrada en el origen (el caso fácil), esta herramienta implementa la fórmula completa para la dilatación respecto a un punto arbitrario. Este tutorial explica qué hace geométricamente la dilatación, deriva la regla de transformación de dos coordenadas y muestra cómo se relaciona la dilatación con el concepto más amplio de semejanza.

Qué hace la dilatación

La dilatación es una transformación que escala cada punto de una figura alejándose (o acercándose) de un centro fijo por el mismo factor. Después de la dilatación:

• Los ángulos se conservan: la figura mantiene su forma.
• Las longitudes se multiplican por el factor de escala k.
• Las áreas se multiplican por k².
• El centro de dilatación es el único punto fijo: no se mueve.

La dilatación es la fuente del concepto completo de semejanza: dos figuras son semejantes si una es una dilatación de la otra (posiblemente combinada con una rotación o reflexión).

La regla de transformación

Para una dilatación centrada en C = (cx, cy) con factor de escala k, un punto P = (x, y) se mapea a P' = (x', y') donde:

x' = cx + k(x − cx)
y' = cy + k(y − cy)

Origen de esto: el vector desde C hasta P es (x − cx, y − cy). Escalar ese vector por k da (k(x − cx), k(y − cy)). Sumándolo de nuevo a C se obtiene la imagen P'. En forma vectorial compacta: P' = C + k(P − C).

Caso especial — dilatación desde el origen

Cuando C = (0, 0), la fórmula se simplifica a:

x' = 0 + k(x − 0) = kx
y' = 0 + k(y − 0) = ky

Entonces (x, y) → (kx, ky). Esta es la versión más simple que se encuentra en la mayoría de los libros de texto introductorios de geometría. Sin embargo, los problemas del mundo real a menudo implican un centro arbitrario, por lo que esta calculadora implementa la regla completa.

Lo que controla el factor de escala k

Ejemplo resuelto 1 — Dilatación desde el origen

Punto P = (4, 6), centro C = (0, 0), factor de escala k = 2.

x' = 0 + 2(4 − 0) = 8
y' = 0 + 2(6 − 0) = 12
P' = (8, 12)

La imagen está el doble de lejos del origen que el original, en la misma dirección.

Ejemplo resuelto 2 — Dilatación desde un centro arbitrario

Punto P = (4, 6), centro C = (1, 2), factor de escala k = 2.

x' = 1 + 2(4 − 1) = 1 + 6 = 7
y' = 1 + 2(6 − 2) = 2 + 8 = 10
P' = (7, 10)

Tenga en cuenta que P' NO es simplemente (8, 12): el centro desplaza el resultado. La imagen P' satisface: el vector desde C hasta P' es exactamente 2 veces el vector desde C hasta P. Verificación: P − C = (3, 4), P' − C = (6, 8) — sí, duplicado.

Ejemplo resuelto 3 — Reducción con centro

Punto P = (10, 10), centro C = (4, 4), factor de escala k = 0.5.

x' = 4 + 0.5(10 − 4) = 4 + 3 = 7
y' = 4 + 0.5(10 − 4) = 7
P' = (7, 7)

La imagen se encuentra a mitad de camino entre P y el centro C: eso es lo que hace el factor de escala 0.5.

Dilatación de una figura completa

Para dilatar un polígono o una curva, aplique la misma regla de dilatación a cada punto individualmente. Para un polígono, dilata cada vértice y conéctalos en el mismo orden. El resultado tiene:

• El mismo número de vértices
• Los mismos ángulos en los vértices correspondientes
• Todos los lados escalados por el factor |k| (valor absoluto porque un k negativo invierte la orientación pero no niega las longitudes)
• Área escalada por k² (siempre positiva: el área no puede ser negativa independientemente del signo de k)

Cómo la dilatación produce semejanza

Dos figuras son semejantes si una puede transformarse en la otra mediante alguna combinación de dilatación, rotación, reflexión y traslación. La "k" en la dilatación ES el factor de escala de semejanza. Si un triángulo se dilata con k = 3, el triángulo imagen es semejante al original con una razón lineal de 3 y una razón de áreas de 9.

Esta es la razón por la cual la dilatación es la única de las cuatro transformaciones básicas (traslación, reflexión, rotación, dilatación) que NO produce una imagen congruente: produce una semejante. Las tres isometrías dan congruencia; la dilatación por sí sola rompe la restricción de tamaño.

Aplicaciones en el mundo real

• Escala de mapas. Un mapa con escala 1:24,000 es una dilatación del terreno real por k = 1/24,000.
• Planos arquitectónicos. Un plano a escala 1/4" = 1' es una dilatación por k = 1/48.
• Zoom en gráficos por computadora. El zoom de pellizco en un teléfono es una dilatación centrada en el punto medio de tus dos dedos, con k = (distancia actual del pellizco) / (distancia inicial del pellizco).
• Óptica de microscopios y telescopios. La ampliación es el valor absoluto del factor de dilatación producido por el sistema óptico, con el eje óptico como centro.

Errores comunes

• Confundir la dilatación con la traslación. La traslación desliza cada punto por el mismo vector. La dilatación escala cada punto en relación con un centro fijo: los puntos más alejados del centro se mueven más.
• Olvídese de restar el centro antes de escalar. La fórmula es k × (punto − centro), no k × punto. Olvidar la resta da el resultado incorrecto siempre que el centro no sea el origen.
• Confusión con el factor de escala negativo. Un k negativo significa que la imagen yace en el lado opuesto del centro con respecto al original. NO es lo mismo que una reflexión a través de un eje.
• Asumir que el área escala linealmente. El área escala como k², no como k. Duplicar las longitudes cuadruplica el área. Esta es la misma lección que en los polígonos semejantes.