Calculateur de dilatation géométrique

La calculatrice de dilatation géométrique gère la dilatation depuis n'importe quel point centre (pas seulement l'origine) avec n'importe quel facteur d'échelle non nul. Alors que la calculatrice de transformations géométriques générique suppose une dilatation centrée à l'origine (le cas simple), cet outil implémente la formule complète pour une dilatation autour d'un point arbitraire. Ce tutoriel explique ce que fait la dilatation géométriquement, déduit la règle de transformation à deux coordonnées et montre comment la dilatation se rapporte au concept plus large de similitude.

Qu'est-ce que fait la dilatation

La dilatation est une transformation qui met à l'échelle chaque point d'une figure en l'éloignant (ou en le rapprochant) d'un centre fixe par un même facteur. Après dilatation :

• Les angles sont conservés — la figure garde sa forme.
• Les longueurs sont multipliées par le facteur d'échelle k.
• Les aires sont multipliées par k².
• Le centre de dilatation est le seul point invariant — il ne bouge pas.

La dilatation est à l'origine du concept entier de similitude : deux figures sont semblables si l'une est une dilatation de l'autre (éventuellement combinée à une rotation ou une réflexion).

La règle de transformation

Pour une dilatation centrée en C = (cx, cy) avec un facteur d'échelle k, un point P = (x, y) est transformé en P' = (x', y') où :

x' = cx + k(x − cx)
y' = cy + k(y − cy)

Origine de cette formule : le vecteur allant de C à P est (x − cx, y − cy). Mettre ce vecteur à l'échelle par k donne (k(x − cx), k(y − cy)). En ajoutant ce résultat à C, on obtient l'image P'. Sous forme vectorielle compacte : P' = C + k(P − C).

Cas particulier — dilatation depuis l'origine

Lorsque C = (0, 0), la formule se simplifie en :

x' = 0 + k(x − 0) = kx
y' = 0 + k(y − 0) = ky

Donc (x, y) → (kx, ky). Il s'agit de la version plus simple que l'on trouve dans la plupart des manuels de géométrie introductifs. Cependant, les problèmes réels impliquent souvent un centre arbitraire, c'est pourquoi cette calculatrice implémente la règle complète.

Ce que contrôle le facteur d'échelle k

Exemple résolu 1 — Dilatation depuis l'origine

Point P = (4, 6), centre C = (0, 0), facteur d'échelle k = 2.

x' = 0 + 2(4 − 0) = 8
y' = 0 + 2(6 − 0) = 12
P' = (8, 12)

L'image est deux fois plus éloignée de l'origine que l'original, dans la même direction.

Exemple résolu 2 — Dilatation depuis un centre arbitraire

Point P = (4, 6), centre C = (1, 2), facteur d'échelle k = 2.

x' = 1 + 2(4 − 1) = 1 + 6 = 7
y' = 1 + 2(6 − 2) = 2 + 8 = 10
P' = (7, 10)

Notez que P' n'est PAS simplement (8, 12) — le centre décale le résultat. L'image P' satisfait la condition suivante : le vecteur allant de C à P' est exactement 2× le vecteur allant de C à P. Vérification : P − C = (3, 4), P' − C = (6, 8) — oui, doublé.

Exemple résolu 3 — Réduction avec centre

Point P = (10, 10), centre C = (4, 4), facteur d'échelle k = 0,5.

x' = 4 + 0,5(10 − 4) = 4 + 3 = 7
y' = 4 + 0,5(10 − 4) = 7
P' = (7, 7)

L'image se situe à mi-chemin entre P et le centre C — c'est ce que fait un facteur d'échelle de 0,5.

Dilatation d'une figure entière

Pour dilater un polygone ou une courbe, appliquez la même règle de dilatation à chaque point individuellement. Pour un polygone, vous dilatez chaque sommet et les reliez dans le même ordre. Le résultat possède :

• Le même nombre de sommets
• Les mêmes angles aux sommets correspondants
• Tous les côtés mis à l'échelle par le facteur |k| (valeur absolue car un k négatif inverse l'orientation mais ne rend pas les longueurs négatives)
• L'aire mise à l'échelle par k² (toujours positive — l'aire ne peut pas être négative quelle que soit la signe de k)

Comment la dilatation produit la similitude

Deux figures sont semblables si l'une peut être transformée en l'autre par une combinaison quelconque de dilatation, rotation, réflexion et translation. Le « k » de la dilatation EST le facteur d'échelle de similitude. Si un triangle est dilaté par k = 3, le triangle image est semblable à l'original avec un rapport linéaire de 3 et un rapport d'aire de 9.

C'est pourquoi la dilatation est la seule des quatre transformations de base (translation, réflexion, rotation, dilatation) qui ne produit PAS une image congruente — elle produit une image semblable. Les trois isométries donnent toutes une congruence ; la dilatation seule brise la contrainte de taille.

Applications pratiques

• Mise à l'échelle des cartes. Une carte à l'échelle 1:24 000 est une dilatation du terrain réel par k = 1/24 000.
• Plans architecturaux. Un plan à l'échelle 1/4" = 1' est une dilatation par k = 1/48.
• Zoom en infographie. Le pincement sur un téléphone est une dilatation centrée au milieu de vos deux doigts, avec k = (distance actuelle du pincement) / (distance initiale du pincement).
• Optique des microscopes et télescopes. Le grossissement est la valeur absolue du facteur de dilatation produit par le système optique, l'axe optique servant de centre.

Erreurs courantes

• Confondre dilatation et translation. La translation déplace chaque point du même vecteur. La dilatation met à l'échelle chaque point par rapport à un centre fixe — les points plus éloignés du centre se déplacent davantage.
• Oublier de soustraire le centre avant de mettre à l'échelle. La formule est k × (point − centre), et non k × point. Oublier la soustraction donne un résultat incorrect chaque fois que le centre n'est pas l'origine.
• Confusion avec les facteurs d'échelle négatifs. Un k négatif signifie que l'image se trouve du côté opposé du centre par rapport à l'original. Ce n'est PAS identique à une réflexion par rapport à un axe.
• Supposer que l'aire évolue linéairement. L'aire évolue comme k², et non k. Doubler les longueurs quadruple l'aire. C'est la même leçon que pour les polygones semblables.