Calculadora de media geométrica

La media geométrica de dos números positivos a y b es √(a × b) — la raíz cuadrada de su producto. Es el "promedio multiplicativo" de dos valores, en contraste con la media aritmética (suma / conteo). La media geométrica aparece en tres lugares importantes: problemas de crecimiento multiplicativo (interés compuesto, factores de escala), el teorema de la altura del triángulo rectángulo (la altura sobre la hipotenusa es la media geométrica de los dos segmentos de la hipotenusa) y como el término central de una sucesión geométrica de 3 términos. Este tutorial cubre los tres casos.

La definición

Para dos números positivos a y b:

Media geométrica = √(a × b)

Nota: a y b deben ser ambos positivos (o ambos negativos — pero el resultado de √(negativo × negativo) es el mismo que para los positivos). La media geométrica de números de signo mixto no está definida para valores reales.

Media aritmética vs media geométrica

Para dos números positivos, la media geométrica es siempre menor o igual que la media aritmética (la desigualdad AM-GM):

√(a × b) ≤ (a + b) / 2, con igualdad solo cuando a = b.

Esta es una de las desigualdades fundamentales en matemáticas. La igualdad se da solo cuando los dos números son iguales (por ejemplo, ambos = 5: MG = √25 = 5, MA = (5+5)/2 = 5).

Ejemplo resuelto 1 — MG básica

Media geométrica de 4 y 9: MG = √(4 × 9) = √36 = 6.

Comparar con la media aritmética: MA = (4 + 9) / 2 = 6.5. MG < MA, como se esperaba.

Nótese que 4, 6, 9 forman una sucesión geométrica de 3 términos con razón común 6/4 = 1.5 y 9/6 = 1.5. La media geométrica del primer y último término es el término central.

El teorema de la altura del triángulo rectángulo

Aquí es donde la media geométrica destaca en geometría. En un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice C, traza la altura desde C hasta la hipotenusa. Esta altura divide la hipotenusa en dos segmentos — llámalos p (adyacente a un cateto) y q (adyacente al otro).

Entonces, tres relaciones de Media Geométrica se cumplen simultáneamente:

1. Altura: h = √(p × q). La altura es la media geométrica de los dos segmentos de la hipotenusa.
2. Cateto 1 (longitud a): a = √(p × c), donde c = p + q es la hipotenusa completa. El cateto es la media geométrica de su segmento adyacente y la hipotenusa entera.
3. Cateto 2 (longitud b): b = √(q × c). Igual que arriba para el otro cateto.

Estas tres relaciones constituyen el teorema de la altura del triángulo rectángulo, a veces llamado "teorema de la media geométrica" o "teorema de Euclides" (Proposición II.14 de sus Elementos).

Ejemplo resuelto 2 — teorema de la altura

Triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en C. La altura desde C hasta la hipotenusa AB encuentra a AB en el punto D, dividiendo AB en segmentos AD = 4 y DB = 9.

Altura CD = √(4 × 9) = √36 = 6.

Cateto AC = √(4 × 13) = √52 ≈ 7.21. (Aquí c = 4 + 9 = 13.)

Cateto BC = √(9 × 13) = √117 ≈ 10.82.

Verificar con Pitágoras: AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = c². ✓

¿Por qué funciona el teorema de la altura?

La altura trazada desde el ángulo recto crea tres triángulos semejantes: el triángulo rectángulo original y dos triángulos rectángulos más pequeños formados en su interior. Los tres son semejantes por AA (cada uno comparte el ángulo recto más otro ángulo del original).

Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales. El teorema de la altura expresa estas proporcionalidades en forma de media geométrica.

Ejemplo resuelto 3 — término central de sucesión geométrica

¿Qué número, al insertarse entre 8 y 50, forma una sucesión geométrica de 3 términos?

El término central es la media geométrica: MG = √(8 × 50) = √400 = 20.

Verificar: 8, 20, 50 tiene razón 20/8 = 2.5 y 50/20 = 2.5. ✓ Sucesión geométrica con razón común 2.5.

La media geométrica de n números

El caso de dos números se generaliza. Para n números positivos x₁, x₂, ..., xₙ:

MG = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) — la enésima raíz del producto.

Para 3 números: MG = ∛(x₁ × x₂ × x₃). Para 4 números: MG = ⁴√(x₁ × x₂ × x₃ × x₄). Y así sucesivamente.

La media geométrica tiene las mismas unidades que los valores (no unidades²), a diferencia de la media geométrica derivada del teorema de la altura.

Aplicaciones en el mundo real

• Tasa anual compuesta de crecimiento (CAGR). Cuando las tasas de crecimiento difieren año tras año, la "tasa de crecimiento anual promedio" es la media geométrica, no la aritmética. Una acción que crece un 20% un año y un 10% el siguiente tiene un crecimiento promedio de √(1.2 × 1.1) ≈ 14.89%, no (20 + 10)/2 = 15%.
• Fotografía. El "promedio" de dos aperturas (que son multiplicativas) utiliza la media geométrica. f/2.0 y f/8.0 tienen un promedio geométrico de √(2 × 8) = f/4.0.
• Relaciones de aspecto. Las relaciones de aspecto estándar fotográficas y de pantalla suelen ser medias geométricas de razones comunes (por ejemplo, los tamaños de papel ISO 216 usan √2 como la relación consistente entre longitud y ancho).
• Ingeniería — pruebas de carga. Los ciclos de prueba de resistencia utilizan medias geométricas para caracterizar las calificaciones de fatiga.

Cuándo usar MG vs MA

Errores comunes

• Usar MA donde se necesita MG. Para cantidades multiplicativas (tasas de interés, factores de crecimiento), el promedio aritmético da el "promedio" incorrecto. La MG es la correcta.
• Calcular la media geométrica de negativos. MG = √(a × b) requiere a × b > 0. Con signos mixtos, el resultado es imaginario y carece de sentido en contextos del mundo real.
• Confundir las variantes del teorema de la altura. Se aplican tres medias geométricas diferentes (altura, cateto 1, cateto 2). Asegúrate de usar la correcta para el valor que deseas: h usa ambos segmentos; un cateto usa un segmento y la hipotenusa completa.
• Olvídarse de MG ≤ MA. Esta es una verificación útil de sentido común: si tu MG supera a tu MA, has cometido un error en el cálculo.