Calculateur de moyenne géométrique

La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est √(a × b) — la racine carrée de leur produit. C'est la « moyenne multiplicative » de deux valeurs, par opposition à la moyenne arithmétique (somme / nombre d'éléments). La moyenne géométrique intervient dans trois contextes importants : les problèmes de croissance multiplicative (intérêts composés, facteurs d'échelle), le théorème de la hauteur dans un triangle rectangle (la hauteur relative à l'hypoténuse est la moyenne géométrique des deux segments de l'hypoténuse), et en tant que terme central d'une suite géométrique à 3 termes. Ce tutoriel couvre ces trois aspects.

Définition

Pour deux nombres positifs a et b :

Moyenne géométrique = √(a × b)

Remarque : a et b doivent être tous deux positifs (ou tous deux négatifs — mais le résultat de √(négatif × négatif) est identique à celui des positifs). La moyenne géométrique de nombres de signes mixtes n'est pas définie pour les valeurs réelles.

Moyenne arithmétique vs moyenne géométrique

Pour deux nombres positifs, la moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique (inégalité AM-GM) :

√(a × b) ≤ (a + b) / 2, avec égalité uniquement lorsque a = b.

C'est l'une des inégalités fondamentales des mathématiques. L'égalité n'a lieu que si les deux nombres sont égaux (par ex. tous deux égaux à 5 : MG = √25 = 5, MA = (5+5)/2 = 5).

Exemple résolu 1 — MG de base

Moyenne géométrique de 4 et 9 : MG = √(4 × 9) = √36 = 6.

Comparaison avec la moyenne arithmétique : MA = (4 + 9) / 2 = 6.5. MG < MA, comme prévu.

On remarque que 4, 6, 9 forment une suite géométrique à 3 termes de raison commune 6/4 = 1,5 et 9/6 = 1,5. La moyenne géométrique du premier et du dernier terme est le terme central.

Le théorème de la hauteur dans un triangle rectangle

C'est ici que la moyenne géométrique brille en géométrie. Dans un triangle rectangle ayant son angle droit au sommet C, tracez la hauteur issue de C vers l'hypoténuse. Cette hauteur divise l'hypoténuse en deux segments — appelons-les p (adjacent à un côté de l'angle droit) et q (adjacent à l'autre).

Alors, trois relations de moyenne géométrique sont simultanément vérifiées :

1. Hauteur : h = √(p × q). La hauteur est la moyenne géométrique des deux segments de l'hypoténuse.
2. Côté 1 (longueur a) : a = √(p × c), où c = p + q est la longueur totale de l'hypoténuse. Le côté est la moyenne géométrique de son segment adjacent et de l'hypoténuse entière.
3. Côté 2 (longueur b) : b = √(q × c). Même principe pour l'autre côté.

Ces trois relations constituent le théorème de la hauteur dans un triangle rectangle, parfois appelé « théorème de la moyenne géométrique » ou « théorème d'Euclide » (Proposition II.14 des Éléments).

Exemple résolu 2 — théorème de la hauteur

Triangle rectangle ABC avec l'angle droit en C. La hauteur issue de C vers l'hypoténuse AB coupe AB au point D, divisant AB en segments AD = 4 et DB = 9.

Hauteur CD = √(4 × 9) = √36 = 6.

Côté AC = √(4 × 13) = √52 ≈ 7,21. (Ici c = 4 + 9 = 13.)

Côté BC = √(9 × 13) = √117 ≈ 10,82.

Vérification avec le théorème de Pythagore : AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = c². ✓

Pourquoi le théorème de la hauteur fonctionne-t-il ?

La hauteur issue de l'angle droit crée trois triangles semblables : le triangle rectangle initial, et deux triangles rectangles plus petits formés à l'intérieur. Ces trois triangles sont semblables par le critère AA (chacun partage l'angle droit ainsi qu'un autre angle issu du triangle original).

Les côtés correspondants de triangles semblables sont proportionnels. Le théorème de la hauteur exprime ces proportions sous forme de moyenne géométrique.

Exemple résolu 3 — terme central d'une suite géométrique

Quel nombre, inséré entre 8 et 50, forme une suite géométrique à 3 termes ?

Le terme central est la moyenne géométrique : MG = √(8 × 50) = √400 = 20.

Vérification : 8, 20, 50 a pour raison 20/8 = 2,5 et 50/20 = 2,5. ✓ Suite géométrique de raison 2,5.

La moyenne géométrique de n nombres

Le cas à deux nombres se généralise. Pour n nombres positifs x₁, x₂, ..., xₙ :

MG = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) — la racine nième du produit.

Pour 3 nombres : MG = ∛(x₁ × x₂ × x₃). Pour 4 nombres : MG = ⁴√(x₁ × x₂ × x₃ × x₄). Et ainsi de suite.

La moyenne géométrique possède les mêmes unités que les valeurs (et non des unités²), contrairement à la moyenne géométrique issue du théorème de la hauteur.

Applications pratiques

• Taux de croissance annuel composé (TCAC). Lorsque les taux de croissance varient d'une année à l'autre, le « taux de croissance annuel moyen » est la moyenne géométrique, et non la moyenne arithmétique. Une action qui croît de 20 % une année et de 10 % l'année suivante a une croissance moyenne de √(1,2 × 1,1) ≈ 14,89 %, et non (20 + 10)/2 = 15 %.
• Photographie. La « moyenne » de deux ouvertures (qui sont multiplicatives) utilise la moyenne géométrique. f/2,0 et f/8,0 ont une moyenne géométrique de √(2 × 8) = f/4,0.
• Rapports d'aspect. Les rapports d'aspect standards photographiques et d'écran sont souvent des moyennes géométriques de rapports courants (par ex. les formats de papier ISO 216 utilisent √2 comme rapport longueur-largeur constant).
• Ingénierie — essais de charge. Les cycles d'essais de endurance utilisent des moyennes géométriques pour caractériser les indices de fatigue.

Quand utiliser MG vs MA ?

Erreurs courantes

• Utiliser MA là où MG est nécessaire. Pour les grandeurs multiplicatives (taux d'intérêt, facteurs de croissance), la moyenne arithmétique donne une « moyenne » incorrecte. La MG est la bonne méthode.
• Calculer la moyenne géométrique de nombres négatifs. MG = √(a × b) nécessite a × b > 0. Avec des signes mixtes, le résultat est imaginaire et sans sens dans les contextes réels.
• Confondre les variantes du théorème de la hauteur. Trois moyennes géométriques différentes s'appliquent (hauteur, côté 1, côté 2). Assurez-vous d'utiliser la bonne selon la valeur recherchée : h utilise les deux segments ; un côté utilise un segment et l'hypoténuse entière.
• Oublier MG ≤ MA. C'est un contrôle de cohérence utile : si votre MG dépasse votre MA, vous avez commis une erreur de calcul.