Calculadora de média geométrica

A média geométrica de dois números positivos a e b é √(a × b) — a raiz quadrada do seu produto. É a "média multiplicativa" de dois valores, em contraste com a média aritmética (soma / contagem). A média geométrica aparece em três lugares importantes: problemas de crescimento multiplicativo (juros compostos, fatores de escala), o teorema da altura do triângulo retângulo (a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica dos dois segmentos da hipotenusa) e como o termo central de uma sequência geométrica de 3 termos. Este tutorial cobre todos os três casos.

A definição

Para dois números positivos a e b:

Média geométrica = √(a × b)

Nota: a e b devem ser ambos positivos (ou ambos negativos — mas o resultado de √(negativo × negativo) é o mesmo que para os positivos). A média geométrica de números com sinais mistos é indefinida para valores reais.

Média aritmética versus média geométrica

Para dois números positivos, a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética (a desigualdade AM-GM):

√(a × b) ≤ (a + b) / 2, com igualdade apenas quando a = b.

Esta é uma das desigualdades fundamentais da matemática. A igualdade ocorre apenas quando os dois números são iguais (por exemplo, ambos = 5: MG = √25 = 5, MA = (5+5)/2 = 5).

Exemplo resolvido 1 — MG básica

Média geométrica de 4 e 9: MG = √(4 × 9) = √36 = 6.

Compare com a média aritmética: MA = (4 + 9) / 2 = 6.5. MG < MA, conforme esperado.

Note que 4, 6, 9 formam uma sequência geométrica de 3 termos com razão comum 6/4 = 1.5 e 9/6 = 1.5. A média geométrica do primeiro e do último termo é o termo do meio.

O teorema da altura do triângulo retângulo

É aqui que a média geométrica brilha na geometria. Num triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice C, trace a altura de C até à hipotenusa. Esta altura divide a hipotenusa em dois segmentos — chame-lhes p (adjacente a um cateto) e q (adjacente ao outro).

Então, valem simultaneamente três relações de Média Geométrica:

1. Altura: h = √(p × q). A altura é a média geométrica dos dois segmentos da hipotenusa.
2. Cateto 1 (comprimento a): a = √(p × c), onde c = p + q é a hipotenusa total. O cateto é a média geométrica do seu segmento adjacente e da hipotenusa inteira.
3. Cateto 2 (comprimento b): b = √(q × c). O mesmo que acima para o outro cateto.

Estas três relações constituem o teorema da altura do triângulo retângulo, por vezes chamado de "teorema da média geométrica" ou "teorema de Euclides" (Proposição II.14 dos seus Elementos).

Exemplo resolvido 2 — teorema da altura

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C. A altura de C até à hipotenusa AB encontra AB no ponto D, dividindo AB nos segmentos AD = 4 e DB = 9.

Altura CD = √(4 × 9) = √36 = 6.

Cateto AC = √(4 × 13) = √52 ≈ 7.21. (Aqui c = 4 + 9 = 13.)

Cateto BC = √(9 × 13) = √117 ≈ 10.82.

Verifique com Pitágoras: AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = c². ✓

Por que funciona o teorema da altura?

A altura do ângulo reto cria três triângulos semelhantes: o triângulo retângulo original e dois triângulos retângulos menores formados no seu interior. Todos os três são semelhantes por AA (cada um partilha o ângulo reto mais outro ângulo do original).

Lados correspondentes de triângulos semelhantes são proporcionais. O teorema da altura expressa estas proporcionalidades na forma de média geométrica.

Exemplo resolvido 3 — termo central de sequência geométrica

Que número, quando inserido entre 8 e 50, forma uma sequência geométrica de 3 termos?

O termo central é a média geométrica: MG = √(8 × 50) = √400 = 20.

Verifique: 8, 20, 50 tem razão 20/8 = 2.5 e 50/20 = 2.5. ✓ Sequência geométrica com razão comum 2.5.

A média geométrica de n números

O caso de dois números generaliza-se. Para n números positivos x₁, x₂, ..., xₙ:

MG = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) — a enésima raiz do produto.

Para 3 números: MG = ∛(x₁ × x₂ × x₃). Para 4 números: MG = ⁴√(x₁ × x₂ × x₃ × x₄). E assim sucessivamente.

A média geométrica tem as mesmas unidades dos valores (não unidades²), ao contrário da média geométrica derivada do teorema da altura.

Aplicações no mundo real

• Taxa de crescimento anual composta (CAGR). Quando as taxas de crescimento diferem ano a ano, a "taxa média de crescimento anual" é a média geométrica, não a média aritmética. Uma ação que cresce 20% num ano e 10% no seguinte tem um crescimento médio de √(1.2 × 1.1) ≈ 14.89%, e não (20 + 10)/2 = 15%.
• Fotografia. A "média" de duas aberturas (que são multiplicativas) usa a média geométrica. f/2.0 e f/8.0 têm uma média geométrica de √(2 × 8) = f/4.0.
• Razões de aspeto. As razões de aspeto padrão fotográficas e de ecrã são frequentemente médias geométricas de razões comuns (por exemplo, os tamanhos de papel ISO 216 usam √2 como a razão consistente entre comprimento e largura).
• Engenharia — testes de carga. Ciclos de teste de resistência utilizam médias geométricas para caracterizar classificações de fadiga.

Quando usar MG versus MA

Erros comuns

• Usar MA onde é necessária a MG. Para quantidades multiplicativas (taxas de juro, fatores de crescimento), a média aritmética dá a "média" errada. A MG é a correta.
• Calcular a média geométrica de negativos. MG = √(a × b) requer a × b > 0. Com sinais mistos, o resultado é imaginário e sem sentido em contextos do mundo real.
• Confundir as variantes do teorema da altura. Aplicam-se três médias geométricas diferentes (altura, cateto 1, cateto 2). Certifique-se de usar a correta para o valor que deseja: h usa ambos os segmentos; um cateto usa um segmento e a hipotenusa inteira.
• Esquecer que MG ≤ MA. Esta é uma verificação útil de sanidade — se a sua MG exceder a sua MA, calculou algo errado.