Calculadora de círculo inscrito

La Calculadora del Círculo Inscrito encuentra el radio del círculo más grande que cabe dentro de un triángulo y toca sus tres lados. Este círculo se llama circunferencia inscrita (o círculo inscrito), y su radio es el inradio, denotado como r. Su centro, el incentro, es uno de los cuatro «centros clásicos del triángulo» (junto con el baricentro, el circuncentro y el ortocentro). Este tutorial explica de dónde proviene la fórmula r = Área / s, presenta un ejemplo resuelto y contrasta el círculo inscrito con el circuncírculo.

¿Qué es el círculo inscrito?

El círculo inscrito es el único círculo que cumple:

• Estar inscrito dentro del triángulo (completamente dentro de su frontera)
• Ser tangente a los tres lados (tocar cada lado en exactamente un punto)
• Ser el más grande posible (ningún círculo mayor puede caber tocando los tres lados)

El centro del círculo inscrito, el incentro, es el punto donde se encuentran las tres bisectrices de los ángulos del triángulo. Todo triángulo tiene exactamente un círculo inscrito, y su centro es equidistante de cada uno de los tres lados. Esa distancia igual es el inradio r.

La fórmula r = Área / s

El inradio se calcula a partir del área del triángulo y su semiperímetro:

r = Área / s, donde s = (a + b + c) / 2

Esta es una de las fórmulas más elegantes de la geometría plana. A continuación se explica la razón geométrica por la que funciona.

Conecte el incentro I con cada uno de los tres vértices. Esto divide el triángulo en tres triángulos más pequeños, cada uno con un lado del original como base y el incentro como vértice opuesto. La altura de cada triángulo pequeño (la distancia perpendicular desde I hasta la base) es exactamente el inradio r, porque I es equidistante de los tres lados por construcción.

El área de cada triángulo pequeño es (1/2) × base × r:

• Triángulo pequeño sobre el lado a: (1/2)(a)(r)
• Triángulo pequeño sobre el lado b: (1/2)(b)(r)
• Triángulo pequeño sobre el lado c: (1/2)(c)(r)

La suma de las tres áreas es igual al área del triángulo original:

Área = (1/2)(a + b + c)(r) = (s)(r)

Despejando r: r = Área / s. Q.E.D.

Cómo la calculadora obtiene el Área

La calculadora utiliza la fórmula de Herón para hallar el área del triángulo a partir de las longitudes de sus tres lados:

Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

donde s es el mismo semiperímetro que antes. La fórmula de Herón solo necesita los tres lados; no requiere ángulos.

Ejemplo resuelto

Entradas: a = 3, b = 4, c = 5 (un triángulo rectángulo 3-4-5).

1. Semiperímetro: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
2. Área (por Herón): √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. (El área del triángulo 3-4-5 es 6, ya que es un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4 → área = (1/2)(3)(4) = 6.)
3. Inradio: r = Área / s = 6 / 6 = 1.

El triángulo 3-4-5 tiene un inradio exactamente igual a 1. Este es un ejemplo «limpio» porque todos los números salen exactos, lo cual sirve como una comprobación útil de que la fórmula y la calculadora coinciden.

Círculo inscrito frente a circuncírculo

El círculo inscrito (esta calculadora) está dentro del triángulo, tangente a sus tres lados. Es el círculo más grande que cabe dentro.

El circuncírculo (o «círculo circunscrito») pasa por los tres vértices del triángulo. Su centro es el circuncentro (donde se cruzan las mediatrices de los lados). Siempre es más grande que el círculo inscrito, y en un triángulo obtusángulo el circuncentro queda fuera del triángulo.

Para el triángulo 3-4-5, el circunradio es exactamente la mitad de la hipotenusa: R = 5/2 = 2.5. Así, r = 1 y R = 2.5: el circuncírculo tiene un radio 2.5 veces mayor que el del círculo inscrito. La relación general R ≥ 2r se cumple para todo triángulo (desigualdad de Euler), con igualdad únicamente en los triángulos equiláteros.

Otras fórmulas del inradio que vale la pena conocer

• Del inradio al área del círculo inscrito: A_círculo_inscrito = πr².
• Inradio de un triángulo equilátero de lado s: r = s/(2√3) = s√3/6.
• Inradio de un triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c: r = (a + b − c)/2. (Pruebe con 3-4-5: r = (3 + 4 − 5)/2 = 1. Confirma nuestro ejemplo.)

Aplicaciones en el mundo real

• Objeto inscrito más grande. Cortar la pieza circular más grande posible a partir de una lámina triangular de metal, madera o papel: el círculo inscrito proporciona el diámetro máximo.
• Centros del triángulo en diseño. El incentro se usa en CAD al redondear (filetear) el interior de una esquina triangular: el radio del filete no puede exceder el inradio sin intersectar otro borde.
• Problemas de olimpiadas de geometría. Una gran fracción de los problemas de geometría de competencias involucra el inradio, el circunradio o sus relaciones (fórmula de Euler d² = R² − 2Rr, donde d es la distancia entre el incentro y el circuncentro).

Errores comunes

• Usar el perímetro completo en lugar del semiperímetro. La fórmula es r = Área / s, donde s = (a+b+c)/2 es LA MITAD del perímetro. Usar el perímetro completo reduce a la mitad el inradio obtenido.
• Confundir círculo inscrito y circuncírculo. El circuncírculo pasa por los vértices (afuera toca adentro); el círculo inscrito es tangente a los lados (adentro toca afuera). Es fácil confundirlos.
• Olvidar la desigualdad triangular. Si las entradas no forman un triángulo válido (un lado ≥ suma de los otros dos), la fórmula de Herón devuelve 0 o NaN. En ese caso, el inradio no está definido.
• Mezclar unidades. Los tres lados deben estar en la misma unidad. El inradio se expresa en esa misma unidad; el área del círculo inscrito queda en unidades al cuadrado.