Calculateur de cercle inscrit

La calculatrice du cercle inscrit détermine le rayon du plus grand cercle pouvant tenir à l'intérieur d'un triangle et tangent aux trois côtés. Ce cercle est appelé le cercle inscrit (ou incircle), et son rayon est le rayon inscrit (ou inradius), noté r. Son centre, l'centre du cercle inscrit (ou incenter), est l'un des quatre « centres classiques » du triangle (avec le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre). Ce tutoriel explique l'origine de la formule r = Aire / s, présente un exemple détaillé et compare le cercle inscrit au cercle circonscrit.

Qu'est-ce que le cercle inscrit ?

Le cercle inscrit est le cercle unique qui :

• Est inscrit dans le triangle (entièrement contenu dans ses limites)
• Est tangent aux trois côtés (touche chaque côté en un seul point)
• Est le plus grand de tels cercles (aucun cercle plus grand ne peut toucher les trois côtés tout en restant à l'intérieur)

Le centre du cercle inscrit, l'centre du cercle inscrit, est le point d'intersection des trois bissectrices des angles du triangle. Tout triangle possède exactement un cercle inscrit — et son centre est équidistant des trois côtés. Cette distance égale est le rayon inscrit r.

La formule r = Aire / s

Le rayon inscrit se calcule à partir de l'aire du triangle et de son demi-périmètre :

r = Aire / s, où s = (a + b + c) / 2

C'est l'une des formules les plus élégantes de la géométrie plane. Voici la raison géométrique de sa validité.

Relions le centre du cercle inscrit I aux trois sommets du triangle. Cela divise le triangle en trois triangles plus petits, chacun ayant pour base un côté du triangle original et pour sommet l'incentre. La hauteur de chaque petit triangle (la distance perpendiculaire de I à la base) est exactement le rayon inscrit r — car I est équidistant des trois côtés par construction.

L'aire de chaque petit triangle est (1/2) × base × r :

• Petit triangle sur le côté a : (1/2)(a)(r)
• Petit triangle sur le côté b : (1/2)(b)(r)
• Petit triangle sur le côté c : (1/2)(c)(r)

La somme des aires des trois triangles est égale à l'aire du triangle original :

Aire = (1/2)(a + b + c)(r) = (s)(r)

En résolvant pour r : r = Aire / s. C.Q.F.D.

Comment la calculatrice détermine l'Aire

La calculatrice utilise la formule de Héron pour trouver l'aire du triangle à partir des longueurs des trois côtés :

Aire = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

où s est le même demi-périmètre que précédemment. La formule de Héron nécessite uniquement les trois côtés — aucun angle n'est requis.

Exemple détaillé

Entrées : a = 3, b = 4, c = 5 (un triangle rectangle 3-4-5).

1. Demi-périmètre : s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
2. Aire (Héron) : √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. (L'aire du triangle 3-4-5 est 6, car c'est un triangle rectangle dont les cathètes sont 3 et 4 → aire = (1/2)(3)(4) = 6.)
3. Rayon inscrit : r = Aire / s = 6 / 6 = 1.

Le triangle 3-4-5 a un rayon inscrit exactement égal à 1. Il s'agit d'un exemple « simple » car tous les nombres sont entiers — ce qui constitue une vérification utile de la cohérence entre la formule et la calculatrice.

Cercle inscrit vs cercle circonscrit

Le cercle inscrit (celui de cette calculatrice) se trouve à l'intérieur du triangle, tangent aux trois côtés. C'est le plus grand cercle pouvant tenir à l'intérieur.

Le cercle circonscrit (ou « cercle circonscrit ») passe par les trois sommets du triangle. Son centre est le centre du cercle circonscrit (point d'intersection des médiatrices des côtés). Il est toujours plus grand que le cercle inscrit, et pour un triangle obtus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du triangle.

Pour le triangle 3-4-5, le rayon du cercle circonscrit est exactement la moitié de l'hypoténuse : R = 5/2 = 2,5. Donc r = 1 et R = 2,5 — le cercle circonscrit a un rayon 2,5 fois supérieur à celui du cercle inscrit. L'inégalité générale R ≥ 2r vaut pour tout triangle (inégalité d'Euler), avec égalité uniquement pour les triangles équilatéraux.

Autres formules utiles pour le rayon inscrit

• Du rayon inscrit à l'aire du cercle inscrit : A_cercle_inscrit = πr².
• Rayon inscrit d'un triangle équilatéral de côté s : r = s/(2√3) = s√3/6.
• Rayon inscrit d'un triangle rectangle de cathètes a, b et d'hypoténuse c : r = (a + b − c)/2. (Essayez-le sur le triangle 3-4-5 : r = (3 + 4 − 5)/2 = 1. Cela confirme notre exemple.)

Applications pratiques

• Plus grand objet inscrit. Découper le plus grand morceau circulaire possible dans une plaque triangulaire de métal, de bois ou de papier — le cercle inscrit donne le diamètre maximal.
• Centres du triangle dans la conception. L'incentre est utilisé en CAO lors de l'arrondi (fillet) de l'intérieur d'un coin triangulaire — le rayon de l'arrondi ne peut pas dépasser le rayon inscrit sans intersecter un autre bord.
• Problèmes d'olympiades de géométrie. Une grande partie des problèmes de géométrie compétitive implique le rayon inscrit, le rayon circonscrit ou leurs relations (formule d'Euler d² = R² − 2Rr où d est la distance entre l'incentre et le centre du cercle circonscrit).

Erreurs courantes

• Utiliser le périmètre complet au lieu du demi-périmètre. La formule est r = Aire / s, où s = (a+b+c)/2 est LA MOITIÉ du périmètre. Utiliser le périmètre complet divise votre rayon inscrit par deux.
• Confondre cercle inscrit et cercle circonscrit. Le cercle circonscrit passe par les sommets (l'extérieur touche l'intérieur) ; le cercle inscrit est tangent aux côtés (l'intérieur touche l'extérieur). Facile à inverser.
• Oublier l'inégalité triangulaire. Si les entrées ne forment pas un triangle valide (un côté ≥ somme des deux autres), la formule de Héron renvoie 0 ou NaN. Le rayon inscrit est alors indéfini.
• Mélanger les unités. Les trois côtés doivent être dans la même unité. Le rayon inscrit sera dans la même unité ; l'aire du cercle inscrit sera dans l'unité au carré.