Calculadora de círculo inscrito

A Calculadora do Círculo Inscrito encontra o raio do maior círculo que cabe dentro de um triângulo e toca todos os três lados. Este círculo é chamado de círculo inscrito (ou incírculo), e seu raio é o raio inscrito (ou inraio), denotado por r. Seu centro, o incentro, é um dos quatro "centros clássicos do triângulo" (juntamente com o baricentro, circuncentro e ortocentro). Este tutorial explica de onde vem a fórmula r = Área / s, apresenta um exemplo resolvido e compara o círculo inscrito com o círculo circunscrito.

O que é o círculo inscrito

O círculo inscrito é o único círculo que é:

• Inscrito dentro do triângulo (inteiramente dentro de seus limites)
• Tangente aos três lados (toca cada lado em exatamente um ponto)
• O maior desse tipo (nenhum círculo maior pode caber tocando os três lados)

O centro do círculo inscrito, o incentro, é o ponto onde as três bissetrizes dos ângulos do triângulo se encontram. Todo triângulo tem exatamente um círculo inscrito — e seu centro está equidistante de cada um dos três lados. Essa distância igual é o inraio r.

A fórmula r = Área / s

O inraio é calculado a partir da área e do semiperímetro do triângulo:

r = Área / s, onde s = (a + b + c) / 2

Esta é uma das fórmulas mais elegantes da geometria plana. Aqui está a razão geométrica pela qual ela funciona.

Conecte o incentro I a cada um dos três vértices. Isso divide o triângulo em três triângulos menores, cada um tendo um lado do original como base e o incentro como vértice oposto. A altura de cada triângulo pequeno (a distância perpendicular de I até a base) é exatamente o inraio r — porque I está equidistante dos três lados por construção.

A área de cada triângulo pequeno é (1/2) × base × r:

• Triângulo pequeno sobre o lado a: (1/2)(a)(r)
• Triângulo pequeno sobre o lado b: (1/2)(b)(r)
• Triângulo pequeno sobre o lado c: (1/2)(c)(r)

Soma das três áreas = área do triângulo original:

Área = (1/2)(a + b + c)(r) = (s)(r)

Resolvendo para r: r = Área / s. Q.E.D.

Como a calculadora calcula a Área

A calculadora usa a Fórmula de Heron para encontrar a área do triângulo a partir dos comprimentos dos três lados:

Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

onde s é o mesmo semiperímetro mencionado acima. A Fórmula de Heron precisa apenas dos três lados — nenhum ângulo é necessário.

Exemplo resolvido

Entradas: a = 3, b = 4, c = 5 (um triângulo retângulo 3-4-5).

1. Semiperímetro: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
2. Área (Heron): √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. (A área do triângulo 3-4-5 é 6, pois é um triângulo retângulo com catetos 3 e 4 → área = (1/2)(3)(4) = 6.)
3. Inraio: r = Área / s = 6 / 6 = 1.

O triângulo 3-4-5 tem um inraio exatamente igual a 1. Este é um exemplo "bonito" porque todos os números saem inteiros — uma verificação útil de que a fórmula e a calculadora estão de acordo.

Círculo inscrito vs. círculo circunscrito

O círculo inscrito (esta calculadora) fica dentro do triângulo, tangente aos três lados. É o maior círculo que cabe dentro dele.

O círculo circunscrito (ou "circuncírculo") passa pelos três vértices do triângulo. Seu centro é o circuncentro (onde as mediatrizes dos lados se encontram). Ele é sempre maior que o círculo inscrito, e, para um triângulo obtusângulo, o circuncentro fica fora do triângulo.

Para o triângulo 3-4-5, o raio circunscrito é exatamente metade da hipotenusa: R = 5/2 = 2,5. Então r = 1 e R = 2,5 — o circuncírculo tem 2,5 vezes o raio do incírculo. A relação geral R ≥ 2r vale para todo triângulo (a desigualdade de Euler), com igualdade apenas para triângulos equiláteros.

Outras fórmulas de inraio que valem a pena conhecer

• Do inraio à área do incírculo: A_incírculo = πr².
• Inraio de um triângulo equilátero com lado s: r = s/(2√3) = s√3/6.
• Inraio de um triângulo retângulo com catetos a, b e hipotenusa c: r = (a + b − c)/2. (Tente no 3-4-5: r = (3 + 4 − 5)/2 = 1. Confirma nosso exemplo.)

Aplicações no mundo real

• Objeto inscrito de maior tamanho. Cortar a peça circular possível de uma chapa triangular de metal, madeira ou papel — o incírculo fornece o diâmetro máximo.
• Centros do triângulo no design. O incentro é usado em CAD ao fazer chanfros (arredondamentos) no interior de um canto triangular — o raio do chanfro não pode exceder o inraio sem intersectar outra aresta.
• Problemas de Olimpíada de Matemática. Uma grande fração dos problemas de geometria de competições envolve inraio, raio circunscrito ou suas relações (a fórmula de Euler d² = R² − 2Rr, onde d é a distância entre o incentro e o circuncentro).

Erros comuns

• Usar o perímetro total em vez do semiperímetro. A fórmula é r = Área / s, onde s = (a+b+c)/2 é METADE do perímetro. Usar o perímetro total reduzirá seu inraio pela metade.
• Confundir incírculo e circuncírculo. O círculo circunscrito passa pelos vértices (de fora para dentro); o círculo inscrito é tangente aos lados (de dentro para fora). É fácil confundir.
• Esquecer a desigualdade triangular. Se as entradas não formarem um triângulo válido (um lado ≥ soma dos outros dois), a Fórmula de Heron retornará 0 ou NaN. O inraio será então indefinido.
• Misturar unidades. Os três lados devem estar na mesma unidade. O inraio virá na mesma unidade; a área do incírculo estará na unidade quadrada.