Kosinussatz-Rechner
Ergebnisse
In Kosinussatz-Rechner verwendete Formeln
In-Depth Tutorial: Kosinussatz-Rechner
Der Kosinussatz ist das zweite der beiden universellen Werkzeuge zur Lösung von Dreiecken — in Partnerschaft mit dem Sinussatz. Während der Sinussatz für die Fälle WSW, SWW und SWS (wobei hier eine zugeordnete Seite-Winkel-Paarung gemeint ist, im Englischen 'matched side-angle pair') funktioniert, gilt der Kosinussatz für die Fälle, in denen dies nicht der Fall ist: SSS (drei Seiten) und SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel). Er reduziert sich zudem auf den Satz des Pythagoras, wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt — was ihn zur natürlichen Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für alle Dreiecke macht. Dieses Tutorial führt durch die Aussage, den Beweis, wann man ihn im Vergleich zum Sinussatz anwendet, sowie durch gelöste Beispiele für die Fälle SSS und SWS.
Die Aussage des Kosinussatzes
Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c gilt:
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Infolge der Symmetrie gilt dieselbe Beziehung für die anderen beiden Winkel durch Umbenennung:
- a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
- b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
- c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Um einen Winkel aus drei Seiten zu berechnen, stellt man die Gleichung nach cos(C) um:
cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)
Der Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras
Wenn C = 90° ist, dann ist cos(C) = 0, und die Formel reduziert sich auf:
c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²
Das ist der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz ist also eine strenge Verallgemeinerung — er funktioniert für JEDES Dreieck, wobei der Term −2ab·cos(C) als "Korrekturterm" fungiert, der verschwindet, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
Das Vorzeichen dieser Korrektur gibt zudem Auskunft über die Art des Dreiecks:
- cos(C) > 0 (C ist spitz, < 90°): Der Korrekturterm ist positiv, also ist c² < a² + b² (c ist kürzer, als es der Satz des Pythagoras vorhersagen würde). Das Dreieck ist bei C spitzwinklig.
- cos(C) = 0 (C ist genau 90°): Die Korrektur fällt weg. Rechtwinkliges Dreieck bei C.
- cos(C) < 0 (C ist stumpf, > 90°): Die Korrektur ist negativ, also ist c² > a² + b² (c ist länger, als es der Satz des Pythagoras vorhersagen würde). Das Dreieck ist bei C stumpfwinklig.
Dies ist im Verborgenen der umgekehrte Satz des Pythagoras.
Beweis aus Koordinaten
Legen Sie ein Dreieck in die Koordinatenebene: Setzen Sie den Eckpunkt A in den Ursprung, die Seite AB entlang der positiven x-Achse mit der Länge c, und sei der Eckpunkt B = (c, 0). Legen Sie C irgendwo oberhalb der x-Achse.
Ausgehend vom Winkel A und der Seite b (Länge von A zu C) sind die Koordinaten von C:
C = (b · cos(A), b · sin(A))
Die dritte Seite a verläuft von B = (c, 0) nach C = (b·cos(A), b·sin(A)). Wenden Sie die Abstandsformel an:
a² = (b·cos(A) − c)² + (b·sin(A))²
= b²cos²(A) − 2bc·cos(A) + c² + b²sin²(A)
= b²(cos²(A) + sin²(A)) − 2bc·cos(A) + c²
= b² + c² − 2bc·cos(A)
In der mittleren Zeile wurde die trigonometrische Identität cos² + sin² = 1 verwendet. Das Ergebnis ist der Kosinussatz.
Wann Kosinussatz vs. Sinussatz anwenden?
| Gegeben | Anwendung |
|---|---|
| SSS (3 Seiten) | Kosinussatz (um einen beliebigen Winkel zu finden) |
| SWS (2 Seiten + eingeschlossener Winkel) | Kosinussatz (um die dritte Seite zu finden) |
| WSW (2 Winkel + eingeschlossene Seite) | Sinussatz (nach Berechnung des dritten Winkels) |
| WWSe (2 Winkel + nicht eingeschlossene Seite) | Sinussatz (nach Berechnung des dritten Winkels) |
| SSw (2 Seiten + nicht eingeschlossener Winkel) | Sinussatz — Achtung vor dem mehrdeutigen Fall |
Gedächtnisstütze: Verwenden Sie den Kosinussatz, wenn noch kein zugeordnetes Seiten-Winkel-Paar bekannt ist. Weisen Sie dann, falls nötig, zum Sinussatz über, sobald eines vorhanden ist.
Gelöstes Beispiel — SSS
Dreieck mit den Seiten a = 5, b = 7, c = 9. Berechnen Sie alle drei Winkel.
Beginnen Sie mit C (dem Winkel gegenüber der längsten Seite, was oft am sichersten ist):
cos(C) = (5² + 7² − 9²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0.1
C = arccos(−0.1) ≈ 95,74° (stumpfwinklig, wie erwartet aus c² > a² + b²).
Berechnen Sie anschließend A:
cos(A) = (7² + 9² − 5²) / (2 · 7 · 9) = (49 + 81 − 25) / 126 = 105/126 ≈ 0,8333
A = arccos(0,8333) ≈ 33,56°.
Dritter Winkel: B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. (Überprüft durch den Kosinussatz für B, aber die Summenprüfung zu 180° ist schneller.)
Gelöstes Beispiel — SWS
Dreieck mit a = 8, b = 10 und dem eingeschlossenen Winkel C = 60°. Berechnen Sie die Seite c.
c² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(60°) = 64 + 100 − 160(0,5) = 164 − 80 = 84
c = √84 ≈ 9,17.
Um die anderen Winkel zu finden, wechseln Sie zum Sinussatz:
sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17
sin(A) = 8 · sin(60°) / 9,17 ≈ 8 · 0,866 / 9,17 ≈ 0,755
A = arcsin(0,755) ≈ 49,11°.
B = 180° − 60° − 49,11° = 70,89°.
Warum der Kosinussatz keinen "mehrdeutigen Fall" hat
Für SSS bestimmen die drei Seiten das Dreieck eindeutig (bis auf Kongruenz). Der Kosinussatz berechnet cos(C) direkt, und arccos liefert einen eindeutigen Winkel im Intervall (0°, 180°). Keine Mehrdeutigkeit.
Für SWS ist der Winkel gegeben, sodass die dritte Seite eindeutig bestimmt ist. Auch hier keine Mehrdeutigkeit.
Im Gegensatz dazu beim Fall SSW (der mit dem Sinussatz behandelt wird): arcsin liefert entweder von zwei supplementären Winkeln, und Sie müssen manuell auswählen, welcher gültig ist. Der Kosinussatz vermeidet dies, indem er mit arccos arbeitet, das im relevanten Bereich eindeutig ist.
Die Verallgemeinerung in Vektorform
Der Kosinussatz ist auch die geometrische Aussage des Skalarprodukts. Für zwei Vektoren u und v mit dem Winkel θ zwischen ihnen gilt:
u · v = |u| · |v| · cos(θ)
Entwickeln und umstellen: Wenn u und v zwei Seiten eines Dreiecks sind, die sich im Winkel θ treffen, erfüllt die dritte Seite w = v − u die Gleichung |w|² = |v|² + |u|² − 2|u||v|cos(θ) — genau der Kosinussatz.
Deshalb lässt sich der Kosinussatz natürlich auf die Geometrie höherer Dimensionen erweitern: Er ist im Verborgenen die Formel für das Skalarprodukt.
Häufige Fehler
- Vorzeichenfehler beim Term −2ab·cos(C). Einige Schüler schreiben +2ab·cos(C). Die Formel hat ein MINUS-Zeichen vor dem Term 2ab·cos(C) — bestätigt durch die Reduktion auf den Satz des Pythagoras (wenn C = 90°, ist cos(C) = 0 und der Term fällt weg; wäre das Vorzeichen +, würde sich die Formel nicht korrekt reduzieren).
- Nur spitze Winkel in Sinus/Cosinus-Tabellen verwenden. Der Kosinussatz gilt für jedes Dreieck, einschließlich stumpfwinkliger. Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist negativ; arccos eines negativen Wertes liefert einen Winkel im Intervall (90°, 180°). Die Formel berücksichtigt dies automatisch.
- Verwechslung, welche Seite c ist. Die Formel c² = a² + b² − 2ab·cos(C) erfordert, dass C der Winkel GEGENÜBER c ist und a/b die beiden Seiten ANGRENZEND an C sind. Ist diese Zuordnung falsch, liefert die Formelsinnloses.
- Vergessen, die Quadratwurzel für c zu ziehen. Die Formel liefert c², nicht c. Wenden Sie am Ende √ an.
Häufig gestellte Fragen – Kosinussatz-Rechner
Verwende es für SSS (3 bekannte Seiten → Winkel berechnen) und SAS (2 Seiten + eingeschlossener Winkel → dritte Seite berechnen). Es behandelt Fälle, in denen der Sinussatz mehrdeutig ist.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Um einen Winkel zu finden: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab).
Wenn C = 90°, dann ist cos(C) = 0 und die Formel vereinfacht sich zu c² = a² + b² — der klassische Satz des Pythagoras.
Ja — kostenlos und unbegrenzt.
The Law of Cosines is also the triangle inequality and the type test
The formula c² = a² + b² − 2ab·cos(C) isn't only a tool for solving triangles. It encodes two of the most important existence facts about triangles, both of which fall out by inspecting the cosine term.
Triangle type from three sides alone. Once you have a, b, c, the sign of a² + b² − c² tells you what kind of triangle you have without computing any angle. If a² + b² > c², the triangle is acute at C. If a² + b² = c², the triangle is right-angled at C (the Pythagorean theorem case). If a² + b² < c², the triangle is obtuse at C. Apply the same test to the other two vertices to fully classify the triangle in three quick arithmetic checks — much faster than computing all three angles via arccos.
The triangle inequality is a corollary. The cosine of any real angle satisfies −1 ≤ cos(C) ≤ 1. Substituting both extremes into the Law of Cosines:
If cos(C) = 1 (C approaches 0°): c² = a² + b² − 2ab = (a − b)², so c = |a − b|.
If cos(C) = −1 (C approaches 180°): c² = a² + b² + 2ab = (a + b)², so c = a + b.
A "real" triangle has C strictly between 0° and 180°, so |a − b| < c < a + b. That's the triangle inequality, and it's a direct consequence of the cosine of any real angle living in [−1, 1]. The calculator returns an error for inputs violating these bounds because no triangle with those side lengths exists.
Where this law shows up in working engineering
The Law of Cosines is the workhorse of any system that measures distances from known reference points and back-solves for an unknown location.
GPS trilateration. A GPS receiver doesn't measure angles to satellites — it measures the time radio signals take to arrive. Multiplying time by the speed of light gives the receiver's distance to each satellite. From at least four satellites at known positions, the receiver computes its own position by solving a system of equations whose individual two-satellite cases are Law-of-Cosines statements: the receiver, one satellite, and another satellite form a triangle whose three sides are the inter-satellite distance (known from orbital data) and the two satellite-to-receiver distances (measured). Solving gives the angle the receiver subtends, which combined across multiple pairs fixes its 3D position.
Surveyor's resection. If you're at an unknown point and can sight three landmarks whose positions are known (e.g., three church spires on a topographic map), you can compute your own coordinates by measuring the bearings to each landmark and applying the Law of Cosines to the triangles formed. This is how 19th-century surveyors located themselves before GPS and how modern surveyors still verify GPS results in places where satellite reception is poor (urban canyons, dense forest, mining tunnels).
Crystallography. X-ray diffraction patterns from crystals encode the lattice spacings, but the formulas that convert observed diffraction angles to unit-cell parameters reduce to the Law of Cosines applied to vectors in the reciprocal lattice. The 14 Bravais lattice types are classified largely by what the cosine relations between the three lattice vectors look like — equality, perpendicularity, or general parallelepiped.
Practical questions about applying the formula
Why is the Law of Cosines numerically better-behaved than Law of Sines for SSS problems?
Because arccos is single-valued on its natural domain [−1, 1], returning an angle in [0°, 180°] uniquely. Arcsin has the same return range only after you decide whether the angle is acute or obtuse — both produce the same sine. For SSS, arccos directly gives the correct angle in one step; arcsin would require a sign-check afterward. The arithmetic precision is also more forgiving: the operation (a² + b² − c²)/(2ab) stays well-conditioned unless the angle is extremely close to 0° or 180° (a "degenerate" near-straight triangle), in which case both a² + b² and c² are nearly equal and their difference loses precision. For typical inputs this is invisible.
What happens if I enter three sides that can't form a triangle?
The expression (a² + b² − c²)/(2ab) falls outside [−1, 1], so arccos returns NaN (not a number) and the calculator returns an error. Geometrically, this means the longest side is longer than the sum of the other two (or equal to it), which would require the triangle to be degenerate — flattened into a line segment with no enclosed area. Always run the triangle inequality check first as a sanity test: each side must be strictly less than the sum of the other two.
Is there a version of the Law of Cosines for higher-dimensional shapes?
Yes. The polarization identity for inner-product spaces — 2(u · v) = |u + v|² − |u|² − |v|² — is the Law of Cosines in vector form. It works in any number of dimensions and in any inner-product space (function spaces, Hilbert spaces). For an n-dimensional simplex (the higher-dim analog of a triangle), there's a generalized Law of Cosines that relates the squared lengths of edges and the squared volumes of faces. These come up in computational geometry and theoretical physics rather than everyday geometry, but the planar Law of Cosines is their direct ancestor.
The formula has Pythagoras as a special case — what's the deeper relationship?
Both are statements about the dot product, but at different specificity. The Pythagorean theorem says |u + v|² = |u|² + |v|² exactly when u · v = 0 (perpendicular vectors). The Law of Cosines drops the perpendicularity requirement and adds back the −2(u · v) = −2|u||v|cos(θ) term to account for non-orthogonality. So Pythagoras is the Law of Cosines restricted to right triangles, and the Law of Cosines is Pythagoras plus a correction for the angle. Once you internalize the dot product, both formulas are the same statement.