Kosinussatz-Rechner

Der Kosinussatz ist das zweite der beiden universellen Werkzeuge zur Lösung von Dreiecken — in Partnerschaft mit dem Sinussatz. Während der Sinussatz für die Fälle WSW, SWW und SWS (wobei hier eine zugeordnete Seite-Winkel-Paarung gemeint ist, im Englischen 'matched side-angle pair') funktioniert, gilt der Kosinussatz für die Fälle, in denen dies nicht der Fall ist: SSS (drei Seiten) und SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel). Er reduziert sich zudem auf den Satz des Pythagoras, wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt — was ihn zur natürlichen Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für alle Dreiecke macht. Dieses Tutorial führt durch die Aussage, den Beweis, wann man ihn im Vergleich zum Sinussatz anwendet, sowie durch gelöste Beispiele für die Fälle SSS und SWS.

Die Aussage des Kosinussatzes

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c gilt:

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Infolge der Symmetrie gilt dieselbe Beziehung für die anderen beiden Winkel durch Umbenennung:

• a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
• b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
• c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Um einen Winkel aus drei Seiten zu berechnen, stellt man die Gleichung nach cos(C) um:

cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)

Der Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras

Wenn C = 90° ist, dann ist cos(C) = 0, und die Formel reduziert sich auf:

c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²

Das ist der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz ist also eine strenge Verallgemeinerung — er funktioniert für JEDES Dreieck, wobei der Term −2ab·cos(C) als "Korrekturterm" fungiert, der verschwindet, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.

Das Vorzeichen dieser Korrektur gibt zudem Auskunft über die Art des Dreiecks:

• cos(C) > 0 (C ist spitz, < 90°): Der Korrekturterm ist positiv, also ist c² < a² + b² (c ist kürzer, als es der Satz des Pythagoras vorhersagen würde). Das Dreieck ist bei C spitzwinklig.
• cos(C) = 0 (C ist genau 90°): Die Korrektur fällt weg. Rechtwinkliges Dreieck bei C.
• cos(C) < 0 (C ist stumpf, > 90°): Die Korrektur ist negativ, also ist c² > a² + b² (c ist länger, als es der Satz des Pythagoras vorhersagen würde). Das Dreieck ist bei C stumpfwinklig.

Dies ist im Verborgenen der umgekehrte Satz des Pythagoras.

Beweis aus Koordinaten

Legen Sie ein Dreieck in die Koordinatenebene: Setzen Sie den Eckpunkt A in den Ursprung, die Seite AB entlang der positiven x-Achse mit der Länge c, und sei der Eckpunkt B = (c, 0). Legen Sie C irgendwo oberhalb der x-Achse.

Ausgehend vom Winkel A und der Seite b (Länge von A zu C) sind die Koordinaten von C:

C = (b · cos(A), b · sin(A))

Die dritte Seite a verläuft von B = (c, 0) nach C = (b·cos(A), b·sin(A)). Wenden Sie die Abstandsformel an:

a² = (b·cos(A) − c)² + (b·sin(A))²
= b²cos²(A) − 2bc·cos(A) + c² + b²sin²(A)
= b²(cos²(A) + sin²(A)) − 2bc·cos(A) + c²
= b² + c² − 2bc·cos(A)

In der mittleren Zeile wurde die trigonometrische Identität cos² + sin² = 1 verwendet. Das Ergebnis ist der Kosinussatz.

Wann Kosinussatz vs. Sinussatz anwenden?

Gedächtnisstütze: Verwenden Sie den Kosinussatz, wenn noch kein zugeordnetes Seiten-Winkel-Paar bekannt ist. Weisen Sie dann, falls nötig, zum Sinussatz über, sobald eines vorhanden ist.

Gelöstes Beispiel — SSS

Dreieck mit den Seiten a = 5, b = 7, c = 9. Berechnen Sie alle drei Winkel.

Beginnen Sie mit C (dem Winkel gegenüber der längsten Seite, was oft am sichersten ist):

cos(C) = (5² + 7² − 9²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0.1

C = arccos(−0.1) ≈ 95,74° (stumpfwinklig, wie erwartet aus c² > a² + b²).

Berechnen Sie anschließend A:

cos(A) = (7² + 9² − 5²) / (2 · 7 · 9) = (49 + 81 − 25) / 126 = 105/126 ≈ 0,8333

A = arccos(0,8333) ≈ 33,56°.

Dritter Winkel: B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. (Überprüft durch den Kosinussatz für B, aber die Summenprüfung zu 180° ist schneller.)

Gelöstes Beispiel — SWS

Dreieck mit a = 8, b = 10 und dem eingeschlossenen Winkel C = 60°. Berechnen Sie die Seite c.

c² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(60°) = 64 + 100 − 160(0,5) = 164 − 80 = 84

c = √84 ≈ 9,17.

Um die anderen Winkel zu finden, wechseln Sie zum Sinussatz:

sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17

sin(A) = 8 · sin(60°) / 9,17 ≈ 8 · 0,866 / 9,17 ≈ 0,755

A = arcsin(0,755) ≈ 49,11°.

B = 180° − 60° − 49,11° = 70,89°.

Warum der Kosinussatz keinen "mehrdeutigen Fall" hat

Für SSS bestimmen die drei Seiten das Dreieck eindeutig (bis auf Kongruenz). Der Kosinussatz berechnet cos(C) direkt, und arccos liefert einen eindeutigen Winkel im Intervall (0°, 180°). Keine Mehrdeutigkeit.

Für SWS ist der Winkel gegeben, sodass die dritte Seite eindeutig bestimmt ist. Auch hier keine Mehrdeutigkeit.

Im Gegensatz dazu beim Fall SSW (der mit dem Sinussatz behandelt wird): arcsin liefert entweder von zwei supplementären Winkeln, und Sie müssen manuell auswählen, welcher gültig ist. Der Kosinussatz vermeidet dies, indem er mit arccos arbeitet, das im relevanten Bereich eindeutig ist.

Die Verallgemeinerung in Vektorform

Der Kosinussatz ist auch die geometrische Aussage des Skalarprodukts. Für zwei Vektoren u und v mit dem Winkel θ zwischen ihnen gilt:

u · v = |u| · |v| · cos(θ)

Entwickeln und umstellen: Wenn u und v zwei Seiten eines Dreiecks sind, die sich im Winkel θ treffen, erfüllt die dritte Seite w = v − u die Gleichung |w|² = |v|² + |u|² − 2|u||v|cos(θ) — genau der Kosinussatz.

Deshalb lässt sich der Kosinussatz natürlich auf die Geometrie höherer Dimensionen erweitern: Er ist im Verborgenen die Formel für das Skalarprodukt.

Häufige Fehler

• Vorzeichenfehler beim Term −2ab·cos(C). Einige Schüler schreiben +2ab·cos(C). Die Formel hat ein MINUS-Zeichen vor dem Term 2ab·cos(C) — bestätigt durch die Reduktion auf den Satz des Pythagoras (wenn C = 90°, ist cos(C) = 0 und der Term fällt weg; wäre das Vorzeichen +, würde sich die Formel nicht korrekt reduzieren).
• Nur spitze Winkel in Sinus/Cosinus-Tabellen verwenden. Der Kosinussatz gilt für jedes Dreieck, einschließlich stumpfwinkliger. Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist negativ; arccos eines negativen Wertes liefert einen Winkel im Intervall (90°, 180°). Die Formel berücksichtigt dies automatisch.
• Verwechslung, welche Seite c ist. Die Formel c² = a² + b² − 2ab·cos(C) erfordert, dass C der Winkel GEGENÜBER c ist und a/b die beiden Seiten ANGRENZEND an C sind. Ist diese Zuordnung falsch, liefert die Formelsinnloses.
• Vergessen, die Quadratwurzel für c zu ziehen. Die Formel liefert c², nicht c. Wenden Sie am Ende √ an.