Calculateur de loi des cosinus

La loi des cosinus est le deuxième des deux outils universels de résolution des triangles — associé à la loi des sinus. Alors que la loi des sinus s'applique aux cas AAS, ASA et SSA (vous disposez d'une paire côté-angle correspondante), la loi des cosinus s'applique aux cas où ce n'est pas le cas : CCC (trois côtés) et CLC (deux côtés + angle inclus). Elle se réduit également au théorème de Pythagore lorsque l'angle inclus est de 90° — ce qui en fait la généralisation naturelle du théorème de Pythagore à tous les triangles. Ce tutoriel présente l'énoncé, la démonstration, les critères d'utilisation par rapport à la loi des sinus, ainsi que des exemples résolus pour les cas CCC et CLC.

Énoncé de la loi des cosinus

Pour tout triangle ayant pour côtés a, b, c et pour angle C l'angle opposé au côté c :

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Par symétrie, la même relation vaut pour les deux autres angles par simple renommage :

• a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
• b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
• c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Pour trouver un angle à partir des trois côtés, réarrangez la formule pour isoler cos(C) :

cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)

Lien avec le théorème de Pythagore

Lorsque C = 90°, cos(C) = 0, et la formule se réduit à :

c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²

C'est le théorème de Pythagore. Ainsi, la loi des cosinus est une généralisation stricte — elle fonctionne pour TOUT triangle, le terme −2ab·cos(C) agissant comme une « correction » qui s'annule lorsque le triangle est rectangle.

Le signe de cette correction renseigne également sur la nature du triangle :

• cos(C) > 0 (C est aigu, < 90°) : le terme de correction est positif, donc c² < a² + b² (c est plus court que ne le prédit Pythagore). Le triangle est aigu en C.
• cos(C) = 0 (C est exactement 90°) : la correction s'annule. Triangle rectangle en C.
• cos(C) < 0 (C est obtus, > 90°) : la correction est négative, donc c² > a² + b² (c est plus long que ne le prédit Pythagore). Le triangle est obtus en C.

Ceci constitue le test réciproque du théorème de Pythagore déguisé.

Démonstration par les coordonnées

Plaçons un triangle dans le plan cartésien : plaçons le sommet A à l'origine, le côté AB le long de l'axe des x positif avec une longueur c, et soit le sommet B = (c, 0). Plaçons C quelque part au-dessus de l'axe des x.

À partir de l'angle A et du côté b (longueur de A à C), les coordonnées de C sont :

C = (b · cos(A), b · sin(A))

Le troisième côté a relie B = (c, 0) à C = (b·cos(A), b·sin(A)). Appliquons la formule de la distance :

a² = (b·cos(A) − c)² + (b·sin(A))²
= b²cos²(A) − 2bc·cos(A) + c² + b²sin²(A)
= b²(cos²(A) + sin²(A)) − 2bc·cos(A) + c²
= b² + c² − 2bc·cos(A)

La ligne intermédiaire utilise l'identité pythagoréenne cos² + sin² = 1. Le résultat est la loi des cosinus.

Quand utiliser la loi des cosinus vs la loi des sinus

Moyen mnémotechnique : Utilisez la loi des cosinus lorsqu'aucune paire côté-angle correspondante n'est encore connue. Ensuite, si nécessaire, passez à la loi des sinus une fois que vous en avez une.

Exemple résolu — CCC

Triangle avec les côtés a = 5, b = 7, c = 9. Trouvez les trois angles.

Commencez par C (l'angle opposé au côté le plus long, souvent le plus sûr) :

cos(C) = (5² + 7² − 9²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0.1

C = arccos(−0.1) ≈ 95,74° (obtus, comme prévu car c² > a² + b²).

Trouvons ensuite A :

cos(A) = (7² + 9² − 5²) / (2 · 7 · 9) = (49 + 81 − 25) / 126 = 105/126 ≈ 0,8333

A = arccos(0,8333) ≈ 33,56°.

Troisième angle : B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. (Vérifié par la loi des cosinus pour B, mais la vérification par la somme à 180° est plus rapide.)

Exemple résolu — CLC

Triangle avec a = 8, b = 10, et l'angle inclus C = 60°. Trouvez le côté c.

c² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(60°) = 64 + 100 − 160(0,5) = 164 − 80 = 84

c = √84 ≈ 9,17.

Puis, pour trouver les autres angles, passez à la loi des sinus :

sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17

sin(A) = 8 · sin(60°) / 9,17 ≈ 8 · 0,866 / 9,17 ≈ 0,755

A = arcsin(0,755) ≈ 49,11°.

B = 180° − 60° − 49,11° = 70,89°.

Pourquoi la loi des cosinus n'a pas de « cas ambigu »

Pour le cas CCC, les trois côtés déterminent de manière unique le triangle (à congruence près). La loi des cosinus calcule directement cos(C), et arccos renvoie un angle unique dans ]0°, 180°[. Aucune ambiguïté.

Pour le cas CLC, l'angle est donné, donc le troisième côté est déterminé de manière unique. Là encore, aucune ambiguïté.

En contraste avec le cas CCO (géré par la loi des sinus) : arcsin renvoie soit l'un soit l'autre de deux angles supplémentaires, et vous devez choisir manuellement celui qui est valide. La loi des cosinus évite cela en travaillant avec arccos, qui est à valeur unique dans l'intervalle pertinent.

Généralisation sous forme vectorielle

La loi des cosinus est également l'énoncé géométrique du produit scalaire. Pour deux vecteurs u et v formant un angle θ entre eux :

u · v = |u| · |v| · cos(θ)

Développons et réarrangeons : si u et v sont deux côtés d'un triangle se rejoignant sous un angle θ, le troisième côté w = v − u satisfait |w|² = |v|² + |u|² − 2|u||v|cos(θ) — exactement la loi des cosinus.

C'est pourquoi la loi des cosinus s'étend naturellement à la géométrie de dimensions supérieures : elle est la formule du produit scalaire déguisée.

Erreurs courantes

• Erreur de signe sur le terme −2ab·cos(C). Certains élèves écrivent +2ab·cos(C). La formule comporte un signe MOINS devant le terme 2ab·cos(C) — confirmé par la réduction au théorème de Pythagore (lorsque C = 90°, cos(C) = 0 et le terme s'annule ; si le signe était +, la formule ne se réduirait pas correctement).
• Utilisation d'une table sin/cos uniquement pour les angles aigus. La loi des cosinus s'applique à tout triangle, y compris les triangles obtus. Le cosinus d'un angle obtus est négatif ; l'arccosinus d'une valeur négative renvoie un angle dans ]90°, 180°[. La formule gère cela automatiquement.
• Confusion sur quel côté est c. La formule c² = a² + b² − 2ab·cos(C) exige que C soit l'angle OPPOSÉ à c, et que a/b soient les deux côtés adjacents à C. Une mauvaise correspondance entraîne des résultats absurdes.
• Oublier de prendre la racine carrée pour obtenir c. La formule donne c², pas c. Appliquez √ à la fin.