Calculadora da lei dos cossenos

A Lei dos Cossenos é a segunda das duas ferramentas universais para resolução de triângulos — acompanhada pela Lei dos Senos. Enquanto a Lei dos Senos funciona nos casos AAS, ASA e SSA (você possui um par lado-ângulo correspondente), a Lei dos Cossenos funciona nos casos em que não possui: LLL (três lados) e LAL (dois lados + ângulo incluído). Ela também se reduz ao Teorema de Pitágoras quando o ângulo incluído é 90° — tornando-a a generalização natural do Teorema de Pitágoras para todos os triângulos. Este tutorial aborda o enunciado, a demonstração, quando usá-la em vez da Lei dos Senos e exemplos resolvidos para os casos LLL e LAL.

Enunciado da Lei dos Cossenos

Para qualquer triângulo com lados a, b, c e o ângulo C oposto ao lado c:

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Por simetria, a mesma relação vale para os outros dois ângulos mediante renomeação:

• a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
• b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
• c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Para encontrar um ângulo a partir dos três lados, reorganize para resolver cos(C):

cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)

Conexão com o Teorema de Pitágoras

Quando C = 90°, cos(C) = 0, e a fórmula se reduz a:

c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²

Esse é o Teorema de Pitágoras. Portanto, a Lei dos Cossenos é uma generalização rigorosa — ela funciona para QUALQUER triângulo, sendo o termo −2ab·cos(C) uma "correção" que desaparece quando o triângulo é retângulo.

O sinal da correção também informa sobre o tipo de triângulo:

• cos(C) > 0 (C é agudo, < 90°): o termo de correção é positivo, logo c² < a² + b² (c é menor do que o previsto pelo Teorema de Pitágoras). O triângulo é agudo em C.
• cos(C) = 0 (C é exatamente 90°): a correção desaparece. Triângulo retângulo em C.
• cos(C) < 0 (C é obtuso, > 90°): a correção é negativa, logo c² > a² + b² (c é maior do que o previsto pelo Teorema de Pitágoras). Obtuso em C.

Esta é a versão disfarçada do teste recíproco do Teorema de Pitágoras.

Demonstração por coordenadas

Coloque um triângulo no plano cartesiano: posicione o vértice A na origem, o lado AB ao longo do eixo x positivo com comprimento c, e seja o vértice B = (c, 0). Posicione C em algum lugar acima do eixo x.

A partir do ângulo A e do lado b (comprimento de A até C), as coordenadas de C são:

C = (b · cos(A), b · sin(A))

O terceiro lado a vai de B = (c, 0) até C = (b·cos(A), b·sin(A)). Aplique a fórmula da distância:

a² = (b·cos(A) − c)² + (b·sin(A))²
= b²cos²(A) − 2bc·cos(A) + c² + b²sin²(A)
= b²(cos²(A) + sin²(A)) − 2bc·cos(A) + c²
= b² + c² − 2bc·cos(A)

A linha do meio utilizou a identidade pitagórica cos² + sin² = 1. O resultado é a Lei dos Cossenos.

Quando usar a Lei dos Cossenos versus a Lei dos Senos

Mnemônico: Use a Lei dos Cossenos quando nenhum par lado-ângulo correspondente ainda for conhecido. Em seguida, se necessário, alterne para a Lei dos Senos assim que tiver um par.

Exemplo resolvido — LLL

Triângulo com lados a = 5, b = 7, c = 9. Encontre os três ângulos.

Comece com C (o ângulo oposto ao lado mais longo, geralmente o mais seguro):

cos(C) = (5² + 7² − 9²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0.1

C = arccos(−0.1) ≈ 95,74° (obtusos, como esperado dado c² > a² + b²).

Em seguida, encontre A:

cos(A) = (7² + 9² − 5²) / (2 · 7 · 9) = (49 + 81 − 25) / 126 = 105/126 ≈ 0,8333

A = arccos(0,8333) ≈ 33,56°.

Terceiro ângulo: B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°. (Verificado pela Lei dos Cossenos em B, mas a verificação da soma igual a 180° é mais rápida.)

Exemplo resolvido — LAL

Triângulo com a = 8, b = 10 e ângulo incluído C = 60°. Encontre o lado c.

c² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(60°) = 64 + 100 − 160(0,5) = 164 − 80 = 84

c = √84 ≈ 9,17.

Depois, para encontrar os outros ângulos, alterne para a Lei dos Senos:

sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17

sin(A) = 8 · sin(60°) / 9,17 ≈ 8 · 0,866 / 9,17 ≈ 0,755

A = arcsin(0,755) ≈ 49,11°.

B = 180° − 60° − 49,11° = 70,89°.

Por que a Lei dos Cossenos não tem um "caso ambíguo"

Para LLL, os três lados determinam unicamente o triângulo (a menos de congruência). A Lei dos Cossenos calcula cos(C) diretamente, e arccos retorna um ângulo único em (0°, 180°). Sem ambiguidade.

Para LAL, o ângulo é dado, portanto o terceiro lado é determinado unicamente. Novamente, sem ambiguidade.

Em contraste com LAA (tratado pela Lei dos Senos): arcsin retorna um de dois ângulos suplementares, e você precisa escolher manualmente qual é válido. A Lei dos Cossenos evita isso trabalhando com arccos, que é unívoco no intervalo relevante.

A generalização na forma vetorial

A Lei dos Cossenos também é a afirmação geométrica do produto escalar. Para dois vetores u e v com ângulo θ entre eles:

u · v = |u| · |v| · cos(θ)

Expanda e reorganize: se u e v são dois lados de um triângulo que se encontram no ângulo θ, o terceiro lado w = v − u satisfaz |w|² = |v|² + |u|² − 2|u||v|cos(θ) — exatamente a Lei dos Cossenos.

É por isso que a Lei dos Cossenos se estende naturalmente à geometria de dimensões superiores: ela é a fórmula do produto escalar disfarçada.

Erros comuns

• Erro de sinal no termo −2ab·cos(C). Alguns alunos escrevem +2ab·cos(C). A fórmula tem um sinal MENOS na frente do termo 2ab·cos(C) — confirmado pela redução pitagórica (quando C = 90°, cos(C) = 0 e o termo desaparece; se o sinal fosse +, a fórmula não se reduziria corretamente).
• Uso de tabela de sen/cosseno apenas para ângulos agudos. A Lei dos Cossenos aplica-se a qualquer triângulo, incluindo os obtusos. O cosseno de um ângulo obtuso é negativo; arccos de um valor negativo retorna um ângulo em (90°, 180°). A fórmula lida com isso automaticamente.
• Confundir qual lado é c. A fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos(C) exige que C seja o ângulo OPOSTO a c, e a/b sejam os dois lados adjacentes a C. Se essa correspondência estiver errada, a fórmula dará resultados sem sentido.
• Esquecer de extrair a raiz quadrada para obter c. A fórmula fornece c², não c. Aplique √ no final.