Sinussatz-Rechner
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In Sinussatz-Rechner verwendete Formeln
In-Depth Tutorial: Sinussatz-Rechner
Der Sinussatz (auch Sinusregel genannt) ist eines der beiden universellen Werkzeuge zur Lösung von Dreiecken in der Trigonometrie – zusammen mit dem Kosinussatz decken diese beiden Gesetze jedes beliebige Dreieck ab, nicht nur rechtwinklige. Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten eines beliebigen Dreiecks gleich ist. Dieses Tutorial erläutert, was der Satz aussagt, wann er anzuwenden ist (im Vergleich zum Kosinussatz), wie man ein Dreieck in jedem anwendbaren Fall löst und den berüchtigten »Zweifelsfall« (ambiguous case) bei SSA.
Die Aussage des Satzes
Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den diesen Seiten gegenüberliegenden Winkeln A, B, C gilt:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Jedes Verhältnis in dieser Kette entspricht derselben Konstanten – geometrisch ist diese Konstante der Durchmesser des umgeschriebenen Kreises (des eindeutigen Kreises, der durch alle drei Eckpunkte verläuft). Also gilt a / sin(A) = 2R, wobei R der Umkreisradius ist. Dies ergibt eine vierte, weniger gebräuchliche Form des Satzes:
a = 2R · sin(A), b = 2R · sin(B), c = 2R · sin(C)
Wann man den Sinussatz anwendet
Der Sinussatz ist anwendbar, wenn man ein passendes Seiten-Winkel-Paar hat – also eine Seite und den ihr gegenüberliegenden Winkel. Man benötigt dieses Paar, um das Verhältnis aufzustellen. Von dort aus kann man jede andere Seite finden, wenn man ihren gegenüberliegenden Winkel kennt, oder jeden Winkel, wenn man seine gegenüberliegende Seite kennt.
Speziell:
- WSW (Winkel-Seite-Winkel): zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite. Der dritte Winkel ergibt sich aus A + B + C = 180°. Dann liefert der Sinussatz die beiden verbleibenden Seiten.
- WWSe (Winkel-Winkel-Seite): zwei Winkel und eine Seite, die einem der Winkel gegenüberliegt. Gleicher Ansatz.
- SsW (Seite-Seite-Winkel): zwei Seiten und ein Winkel, der einer der Seiten gegenüberliegt. Dies ist der Zweifelsfall – siehe unten.
Wann stattdessen der Kosinussatz zu verwenden ist: SSS (drei Seiten) und SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel). In diesen Fällen ist noch kein Seiten-Winkel-Paar bekannt, und der Kosinussatz ist der richtige Einstiegspunkt.
Durchgerechnetes Beispiel — WSW
Gegeben A = 50°, B = 60° und die dazwischenliegende Seite c = 12. Gesucht sind die anderen beiden Seiten.
Dritter Winkel: C = 180° − 50° − 60° = 70°.
Nach dem Sinussatz: a/sin(50°) = 12/sin(70°). Auflösen nach a: a = 12 · sin(50°)/sin(70°) ≈ 12 · 0,766/0,940 ≈ 9,78.
Entsprechend: b = 12 · sin(60°)/sin(70°) ≈ 12 · 0,866/0,940 ≈ 11,06.
Durchgerechnetes Beispiel — WWSe
Gegeben A = 35°, B = 45°, a = 7. Gesucht ist c.
Nach dem Sinussatz: 7/sin(35°) = c/sin(C). Zuerst berechnet man C: C = 180° − 35° − 45° = 100°. Dann ist c = 7 · sin(100°)/sin(35°) ≈ 7 · 0,985/0,574 ≈ 12,02.
Der Zweifelsfall — SsW
Dies ist das am häufigsten gestellte Szenario. Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, der einer der Seiten gegenüberliegt. Es können keine, genau eine oder zwei gültige Dreiecke existieren.
Vorbereitung: Die Seiten a und b sind gegeben, der Winkel A ist gegeben (gegenüberliegend zur Seite a). Der Sinussatz liefert sin(B) = b · sin(A) / a. Für das Ergebnis gibt es drei Fälle:
- sin(B) > 1: unmöglich. Es existiert kein Dreieck. Die Seite a ist zu kurz, um den dritten Eckpunkt zu »erreichen«.
- sin(B) = 1: genau ein Dreieck, mit B = 90°. Der eindeutige Fall des rechtwinkligen Dreiecks.
- sin(B) < 1: zwei Kandidatenwinkel: B₁ = arcsin(sin(B)) (spitz) und B₂ = 180° − B₁ (stumpf). Beide könnten gültig sein – prüfen Sie, ob A + B₂ < 180° für jeden Kandidaten gilt. Wenn sowohl A + B₁ < 180° ALS AUCH A + B₂ < 180° gilt, haben Sie zwei gültige Dreiecke. Wenn nur einer die Prüfung besteht, haben Sie ein Dreieck.
Dies ist genau der SsW-Zweig, der im Dreiecksrechner implementiert ist. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide mit einem Flag »ambiguous_note« gemeldet.
Durchgerechnetes Beispiel — SsW mit zwei Lösungen
Gegeben a = 6, b = 8, A = 35°. Gesucht ist B.
sin(B) = 8 · sin(35°) / 6 = 8 · 0,5736 / 6 ≈ 0,7648.
B₁ = arcsin(0,7648) ≈ 49,886°. Spitzer Kandidat.
B₂ = 180° − 49,886° ≈ 130,114°. Stumpfer Kandidat.
Prüfen Sie A + B für jeden: A + B₁ = 35° + 49,886° = 84,886° (kleiner als 180°, gültig). A + B₂ = 35° + 130,114° = 165,114° (ebenfalls kleiner als 180°, gültig). Beide sind gültig – es existieren zwei Dreiecke mit den gegebenen Messwerten.
Das spitze Dreieck hat C = 180° − 84,886° = 95,114°. Das stumpfe Dreieck hat C = 180° − 165,114° = 14,886°. Die beiden Dreiecke teilen die Seiten a und b sowie den Winkel A, unterscheiden sich jedoch in B und C sowie in der Länge von c.
Die Beziehung zum Umkreis
Das konstante Verhältnis a/sin(A) entspricht dem Durchmesser des Umkreises. Dies bietet eine schnelle Möglichkeit, den Umkreisradius R = a / (2 sin(A)) zu finden, sobald eine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel bekannt sind.
Umgekehrt gilt: Wenn ein Dreieck in einen Kreis mit bekanntem Radius R einbeschrieben ist, dann hat die Sehne (Seite), die einem beliebigen Eckwinkel θ gegenüberliegt, die Länge 2R · sin(θ). Der Sinussatz ist im Grunde eine Aussage über Kreise, die über den Peripheriewinkelsatz hergestellt wird.
Häufige Fehler
- Verwechslung von sin(A) mit A. Das Verhältnis a/sin(A) verwendet den SINUS des Winkels, nicht den Winkel selbst. Vergisst man, den Sinus zu berechnen, ergeben die Zahlen keinen Sinn.
- Moduskonflikt (Grad vs. Bogenmaß). Unser Rechner erwartet Grad. Wenn Ihr Lehrbuch im Bogenmaß ist, müssen Sie umrechnen. sin(60°) ≈ 0,866, aber sin(60 Radiant) ≈ −0,305.
- Der Versuch, den Sinussatz bei SSS oder SWS anzuwenden. Diese Fälle haben kein bekanntes Seiten-Winkel-Paar. Verwenden Sie den Kosinussatz, um den ersten Winkel zu erhalten, und wechseln Sie dann zum Sinussatz.
- Ignorieren des Zweifelsfalls. Bei Angabe von SsW muss immer geprüft werden, ob zwei Lösungen existieren. Viele Aufgaben in Lehrbüchern erwarten, dass beide angegeben werden.
- Vergessen, dass AAA die Größe nicht bestimmt. Drei Winkel geben die Form, aber nicht die Skalierung vor. Man benötigt immer mindestens eine Seite.
Häufig gestellte Fragen – Sinussatz-Rechner
Verwenden Sie es für WSW (2 Winkel + nicht eingeschlossene Seite) und WSW (2 Winkel + eingeschlossene Seite). Für die Fälle SSS oder SWS verwenden Sie den Kosinussatz.
Wenn Sie zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennen, kann es null, ein oder zwei gültige Dreiecke geben. Der Rechner erkennt und meldet alle gültigen Lösungen.
Ja — drei Winkel allein (WWW) bestimmen nur die Form, nicht die Größe. Mindestens eine Seite ist erforderlich, um spezifische numerische Längen zu finden.
Ja — kostenlos und unbegrenzt. AI Solve erklärt den vollständigen Lösungsweg unter Verwendung von 3 Credits.
Why a/sin(A) equals 2R — the law's geometric source
The constant ratio in a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) isn't a coincidence; it equals the diameter 2R of the triangle's circumscribed circle. The two-line proof comes from the inscribed angle theorem, and it's worth knowing because it explains why the law works at all.
Draw the triangle inscribed in its circumcircle. Pick any side — say side a opposite angle A — and consider the chord a in the circle. The inscribed angle theorem states that an inscribed angle subtending a chord equals half the central angle subtending the same chord. Specifically, the central angle for chord a is 2A, and the chord length is 2R·sin(A) (basic chord-length formula). Therefore a = 2R·sin(A), which rearranges to a/sin(A) = 2R. The same argument with sides b and c gives the chain.
This means the calculator is implicitly handing you the circumradius whenever you solve a triangle: R = a/(2·sin(A)). For practical use, that radius is exactly the distance from the triangle's circumcenter to each vertex — useful in mechanical drawing for laying out three points that all lie on a known circle, and in computer graphics for fitting a bounding circle to a triangle mesh.
The law extends to spherical geometry — and that's why navigators learned it
On a sphere, the "triangle" has sides that are arcs of great circles, measured in radians (as angular distances). The spherical Law of Sines reads:
sin(a)/sin(A) = sin(b)/sin(B) = sin(c)/sin(C)
Note the sines on both sides — the side lengths are angles too, so they get sined. For a small triangle relative to the sphere's radius, sin(a) ≈ a by Taylor expansion, and the spherical version reduces to the planar one. That's why the planar law works fine for triangles on Earth up to roughly hundreds of kilometers across.
Celestial navigation used this until GPS replaced it in the 1990s — given the angular altitudes of two stars above the horizon, the spherical Law of Sines plus a nautical almanac fixes your ship's position to within a few miles. Pilots still learn the spherical Law of Sines because backup celestial techniques are still part of long-haul flight training in case GPS fails. Spherical trigonometry has a hyperbolic analog too — sinh(a)/sin(A) = sinh(b)/sin(B) = sinh(c)/sin(C) for triangles on a hyperbolic plane — but you'd only encounter that in non-Euclidean geometry coursework or general relativity.
Geometric intuition and edge cases the basic FAQ skips
What does the ambiguous case look like geometrically?
Picture trying to construct a triangle given side a, side b, and angle A opposite a. Draw side b as a horizontal segment, place angle A at one end, and draw a ray from that endpoint at angle A above horizontal — that ray is where the third vertex must lie. Now from the other end of side b, swing an arc of radius a. The third vertex sits at the intersection of the ray and the arc. Depending on lengths, the arc can miss the ray entirely (no triangle), touch it tangentially (one right triangle), or cross it twice (two triangles). The SSA ambiguity isn't an algebraic artifact — it's a real geometric fact about how arcs and rays can meet.
When does the Law of Sines lose numerical precision?
Two situations. First, when an angle is close to 0° or 180°, its sine is close to zero, so dividing by sin(angle) amplifies any input error. A 0.01° measurement error on a 0.5° angle is a 2% error in the answer; the same error on a 60° angle is invisible. Second, in SSA cases where b·sin(A)/a is very close to 1, the two ambiguous-case solutions converge — and which side of 1 the value lands on depends on the last decimal place of your input. For SSA problems near the right-angle boundary, double-check whether your inputs really specify the case you think they do, or compute the triangle two different ways (e.g., also via Law of Cosines once you have one extra value) to verify.
How is this law actually used in surveying?
The classical method is "triangulation from a baseline." Surveyors measure one short baseline very accurately (e.g., 100 m with a calibrated tape), then sight a distant target from each end of the baseline and record the two angles. They now have two angles and the included side — ASA — which the Law of Sines solves in one step to give the distances from each baseline endpoint to the target. Repeating this from new baselines extends the survey across arbitrary terrain. The entire 19th-century mapping of India (the Great Trigonometrical Survey) was built on chained ASA triangulation, and the original survey produced the first accurate height of Mount Everest in 1856.
If I only have two angles, why can't the calculator give numerical sides?
Because two angles determine the triangle's shape but not its scale. A triangle with angles 30°, 60°, 90° is a fixed shape, but it can be drawn at any size — a tiny version inside a notebook and a kilometer-wide version outside both have the same angles. Without at least one side length, every side length scales freely. The third angle is determined (sum to 180°), but no numerical answer for sides is possible. This is why SSS, SAS, AAS, ASA, and SSA work but AAA does not.