Cada círculo tiene el mismo puñado de partes con nombre — y casi todas las fórmulas de círculos son simplemente una relación entre dos de ellas. Una vez que puedas etiquetar el radio, el diámetro, la cuerda, el arco, el sector, el segmento, la tangente y la secante en una figura, el resto de la geometría de círculos sigue naturalmente. Esta guía recorre cada parte una por una con la fórmula que depende de ella.
El centro es el punto definitorio de un círculo — cada punto del círculo está exactamente a la distancia del radio de él. El radio (plural: radios) es la medida más utilizada en las fórmulas de círculos porque es la más simple. Cualquier otra cosa que puedas calcular (área, circunferencia, diámetro, sector, longitud de cuerda) se reduce en última instancia a una fórmula que involucra r.
Fórmulas que usan el radio: Área A = πr², Circunferencia C = 2πr, Diámetro d = 2r, Ecuación de un círculo (x − h)² + (y − k)² = r².
El diámetro es la cuerda más larga en cualquier círculo — una línea recta a través del centro, que termina en el círculo en ambos lados. Su longitud es siempre exactamente el doble del radio: d = 2r. Si solo conoces el diámetro, aún puedes calcular todo: r = d/2, A = πd²/4, C = πd.
Una trampa común para los estudiantes: confundir el diámetro con el radio en la fórmula del área. Si por error introduces d en A = πr², obtendrás una respuesta 4× demasiado grande. Siempre divide a la mitad primero si la figura etiqueta el diámetro.
Una cuerda es cualquier segmento cuyos extremos se encuentran en el círculo. El diámetro es la cuerda especial que pasa por el centro; todas las demás cuerdas son más cortas que el diámetro.
Fórmula de longitud de cuerda: c = 2r × sen(θ/2), donde θ es el ángulo central que subtiende la cuerda (el ángulo entre los dos radios trazados hasta los extremos de la cuerda).
Ejemplo: En un círculo de radio 10, una cuerda subtendida por un ángulo central de 60° tiene longitud c = 2 × 10 × sen(30°) = 20 × 0.5 = 10. (Cuando θ = 60°, la cuerda iguala al radio — ese es el caso del triángulo equilátero.)
Un arco es un trozo de la circunferencia. Hay dos tipos:
Fórmula de longitud de arco: L = r × θ (radianes), o L = (θ°/360) × 2πr (grados).
Ejemplo: En un círculo de radio 6, un arco de 90° tiene longitud (90/360) × 2π × 6 = (1/4) × 12π = 3π ≈ 9.42.
Un sector es la región en forma de porción de pastel entre dos radios — delimitada por los radios en dos lados y un arco en el lado curvo. Piensa en una porción de pizza.
Fórmula de área de sector: A_s = ½ × r² × θ (radianes), o A_s = (θ°/360) × πr² (grados).
Ejemplo: Un sector de 45° en un círculo de radio 8 tiene área (45/360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13.
Un segmento se confunde fácilmente con un sector, pero es una región diferente. Imagina trazar una sola cuerda a través de un círculo — la cuerda divide el círculo en dos regiones, cada una delimitada por la cuerda y un arco. Cada región es un segmento. (Un sector, en cambio, está delimitado por dos radios más un arco.)
Fórmula de área de segmento: A_seg = ½ × r² × (θ − sen θ), con θ en radianes.
Mnemotécnico: un sector es lo que cortarías con dos trazos rectos de cuchillo desde el centro; un segmento es lo que cortarías con un solo trazo recto a través.
Una tangente es una línea que apenas toca el círculo — encontrándose con él en exactamente un punto (el "punto de tangencia") sin cruzar hacia el interior. La propiedad clave:
Una línea tangente siempre es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.
Esta es la base de docenas de problemas de demostración de geometría y aparece en cálculo cuando encuentras la línea tangente a una curva. Si un problema menciona "la tangente en el punto P", dibuja instantáneamente el radio OP — el ángulo allí es 90°.
Una secante es una línea que corta el círculo en exactamente dos puntos. Visualízala como una cuerda cuyos extremos han sido extendidos en una línea completa en ambos lados.
La relación que los examinadores adoran: si se trazan dos secantes desde un punto externo P, el producto de los dos segmentos (externo × completo) es el mismo para ambas secantes. Este es el teorema de la Potencia de un punto.
La circunferencia es la distancia total alrededor del círculo — su perímetro. En los libros de texto escolares se usa la palabra "perímetro"; en geometría la palabra técnica es "circunferencia". Ambas se refieren a la misma longitud:
C = 2π × r = π × d
Esa razón C/d = π (≈ 3.14159) es idéntica para todo círculo. Es la constante más famosa en matemáticas.
Imagina un círculo con centro O. Dentro:
Redibujar esta figura de memoria es el mejor ejercicio de estudio individual para el vocabulario de círculos. Una vez que las etiquetas se vuelven automáticas, todas las fórmulas son simplemente relaciones entre estas partes.
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