Chaque cercle possède le même petit nombre de parties nommées — et presque toutes les formules de cercle ne sont qu'une relation entre deux d'entre elles. Une fois que vous pouvez étiqueter le rayon, le diamètre, la corde, l'arc, le secteur, le segment, la tangente et la sécante sur une figure, le reste de la géométrie des cercles suit naturellement. Ce guide parcourt chaque partie une par une avec la formule qui en dépend.
Le centre est le point définissant un cercle — chaque point du cercle est exactement à la distance du rayon de celui-ci. Le rayon (pluriel : rayons) est la mesure la plus utilisée dans les formules de cercle car c'est la plus simple. Tout ce que vous pouvez calculer (aire, circonférence, diamètre, secteur, longueur de corde) se ramène finalement à une formule impliquant r.
Formules qui utilisent le rayon : Aire A = πr², Circonférence C = 2πr, Diamètre d = 2r, Équation d'un cercle (x − h)² + (y − k)² = r².
Le diamètre est la corde la plus longue de tout cercle — une droite passant par le centre, se terminant sur le cercle des deux côtés. Sa longueur est toujours exactement deux fois le rayon : d = 2r. Si vous ne connaissez que le diamètre, vous pouvez encore tout calculer : r = d/2, A = πd²/4, C = πd.
Une erreur courante chez les élèves : confondre diamètre et rayon dans la formule de l'aire. Si vous insérez par erreur d dans A = πr², vous obtiendrez un résultat 4× trop grand. Divisez toujours d'abord par deux si la figure indique le diamètre.
Une corde est tout segment dont les extrémités se trouvent sur le cercle. Le diamètre est la corde spéciale qui passe par le centre ; toute autre corde est plus courte que le diamètre.
Formule de la longueur de corde : c = 2r × sin(θ/2), où θ est l'angle central sous-tendu par la corde (l'angle entre les deux rayons tracés vers les extrémités de la corde).
Exemple : Dans un cercle de rayon 10, une corde sous-tendue par un angle central de 60° a pour longueur c = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10. (Quand θ = 60°, la corde égale le rayon — c'est le cas du triangle équilatéral.)
Un arc est un morceau de la circonférence. Il existe deux types :
Formule de la longueur d'arc : L = r × θ (radians), ou L = (θ°/360) × 2πr (degrés).
Exemple : Dans un cercle de rayon 6, un arc de 90° a pour longueur (90/360) × 2π × 6 = (1/4) × 12π = 3π ≈ 9,42.
Un secteur est la région en part de tarte entre deux rayons — délimitée par les rayons sur deux côtés et un arc sur le côté courbe. Pensez à une part de pizza.
Formule de l'aire du secteur : A_s = ½ × r² × θ (radians), ou A_s = (θ°/360) × πr² (degrés).
Exemple : Un secteur de 45° dans un cercle de rayon 8 a pour aire (45/360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25,13.
Un segment est facilement confondu avec un secteur, mais c'est une région différente. Imaginez tracer une seule corde à travers un cercle — la corde divise le cercle en deux régions, chacune délimitée par la corde et un arc. Chaque région est un segment. (Un secteur, en revanche, est délimité par deux rayons plus un arc.)
Formule de l'aire du segment : A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ), avec θ en radians.
Mnémotechnique : un secteur est ce que vous découperiez avec deux coups de couteau droits depuis le centre ; un segment est ce que vous découperiez avec un seul coup droit en travers.
Une tangente est une droite qui touche à peine le cercle — le rencontrant en exactement un point (le « point de tangence ») sans pénétrer à l'intérieur. La propriété clé :
Une droite tangente est toujours perpendiculaire au rayon tracé vers le point de tangence.
C'est le fondement de dizaines de problèmes de démonstration en géométrie et apparaît en calcul lorsqu'on trouve la tangente à une courbe. Si un problème mentionne « la tangente au point P », tracez instantanément le rayon OP — l'angle là est de 90°.
Une sécante est une droite qui coupe le cercle en exactement deux points. Visualisez-la comme une corde dont les extrémités ont été prolongées en une droite complète des deux côtés.
La relation que les examinateurs adorent : si deux sécantes sont tracées depuis un point extérieur P, le produit des deux segments (externe × complet) est le même pour les deux sécantes. C'est le théorème de la puissance d'un point.
La circonférence est la distance totale autour du cercle — son périmètre. Dans les manuels scolaires, le mot « périmètre » est utilisé ; en géométrie, le terme technique est « circonférence ». Les deux désignent la même longueur :
C = 2π × r = π × d
Ce rapport C/d = π (≈ 3,14159) est identique pour tout cercle. C'est la constante la plus célèbre en mathématiques.
Imaginez un cercle avec centre O. À l'intérieur :
Redessiner cette figure de mémoire est le meilleur exercice d'étude pour le vocabulaire des cercles. Une fois les étiquettes devenues automatiques, toutes les formules ne sont que des relations entre ces parties.
Combien ma