每个圆都有相同的一组命名部分——几乎每个圆的公式都只是其中两个部分之间的关系。一旦你能在图形上标注出半径、直径、弦、弧、扇形、弓形、切线和割线，剩下的圆几何就自然而然了。本指南逐一介绍每个部分及其对应的公式。
圆心是圆的定义性点——圆上每一点都与它相距一个半径的距离。半径（复数：radii）是圆公式中最常用的度量，因为它最简单。你能计算出的任何其他量（面积、周长、直径、扇形、弦长）最终都可归结为包含 r 的公式。
使用半径的公式：面积 A = πr²，周长 C = 2πr，直径 d = 2r，圆的方程 (x − h)² + (y − k)² = r²。
直径是任意圆中最长的弦——一条穿过圆心、两端都在圆上的直线。其长度始终恰好是半径的两倍：d = 2r。如果你只知道直径，仍然可以计算一切：r = d/2，A = πd²/4，C = πd。
常见学生误区：在面积公式中混淆直径与半径。如果你错误地将 d 代入 A = πr²，答案会大 4 倍。如果图形标注的是直径，务必先减半。
弦是端点都在圆上的任意线段。直径是穿过圆心的特殊弦；其他所有弦都比直径短。
弦长公式：c = 2r × sin(θ/2)，其中 θ 是该弦所对的圆心角（连接弦两端点的两条半径之间的夹角）。
例：在半径为 10 的圆中，圆心角 60° 所对的弦长为 c = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10。（当 θ = 60° 时，弦长等于半径——这是等边三角形的情形。）
弧是圆周的一部分。有两种：
弧长公式：L = r × θ（弧度），或 L = (θ°/360) × 2πr（度）。
例：在半径为 6 的圆中，90° 弧的长度为 (90/360) × 2π × 6 = (1/4) × 12π = 3π ≈ 9.42。
扇形是两条半径之间的饼形区域——两侧由半径界定，弧形边由弧界定。想象披萨切片。
扇形面积公式：A_s = ½ × r² × θ（弧度），或 A_s = (θ°/360) × πr²（度）。
例：半径为 8 的圆中，45° 扇形的面积为 (45/360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13。
弓形容易与扇形混淆，但它是不同的区域。想象在圆上画一条弦——弦将圆分成两个区域，每个区域都由弦和一段弧界定。每个这样的区域都是弓形。（相比之下，扇形由两条半径加一段弧界定。）
弓形面积公式：A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ)，θ 以弧度为单位。
助记：用两刀从圆心直切得到的是扇形；用一刀横切得到的是弓形。
切线是恰好与圆相切于一点（“切点”）而不进入圆内部的直线。其关键性质：
切线始终垂直于该切点处所画的半径。
这是数十个几何证明题的基础，也出现在微积分中求曲线的切线时。如果题目提到“点 P 处的切线”，立即画出半径 OP——那里的角是 90°。
割线是恰好与圆交于两点的直线。可将其视为两端延伸成完整直线的弦。
考官最爱的关系：若从外部点 P 引两条割线，则两条割线的线段乘积（外段 × 全长）相等。这就是点幂定理。
周长是圆的全部距离——即其周长。学校教材中使用“perimeter”；在几何中技术用语是“circumference”。两者指同一长度：
C = 2π × r = π × d
比值 C/d = π（≈ 3.14159）对每个圆都相同。这是数学中最著名的常数。
想象一个圆心为 O 的圆。图中包含：
从记忆中重画此图是学习圆词汇的最佳练习。一旦标签变得自动，所有公式就只是这些部分之间的关系。
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