Calculadora de polígono por coordenadas

A Calculadora de Coordenadas de Polígonos utiliza a fórmula do cadarço (também conhecida como fórmula do topógrafo ou fórmula da área de Gauss) para encontrar a área de qualquer polígono simples — regular ou irregular — apenas a partir das coordenadas dos seus vértices (x, y). Não são necessários comprimentos dos lados, ângulos ou medições de altura. Basta inserir os vértices em ordem. Este tutorial explica a fórmula, por que ela funciona (em termos geométricos) e apresenta exemplos resolvidos para polígonos convexos e côncavos.

A fórmula do cadarço

Para um polígono com n vértices listados em ordem como (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ):

Área = ½ × |Σ (xᵢ × yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ × yᵢ)|

A soma percorre todos os pares consecutivos de vértices, tratando (xₙ₊₁, yₙ₊₁) como sendo o mesmo que (x₁, y₁) (fechamento). As barras de valor absoluto tratam do caso em que os vértices estão listados no sentido horário (o que resulta em um valor negativo sob a soma); o resultado é sempre uma área positiva.

O nome "Cadarço"

A fórmula recebe esse nome pela maneira visual como você a computa:

1. Escreva todas as coordenadas x em uma coluna e as coordenadas y em outra, REPETINDO a primeira linha na parte inferior (para fechar o polígono).
2. Multiplicação descendente para a direita (cada xᵢ vezes o y_{i+1}). Some esses valores.
3. Multiplicação descendente para a ESQUERDA (cada yᵢ vezes o x_{i+1}). Some esses valores.
4. Calcule a diferença absoluta entre as duas somas e divida por 2.

O padrão de multiplicação diagonal se assemelha a um zigue-zague de cadarço — daí o nome.

Exemplo resolvido 1 — quadrado via cadarço

Quadrado com vértices (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3) — na verdade, um retângulo de 4 × 3.

Calcule os produtos descendentes para a direita e para a esquerda:

Descendente para a direita: (0×0) + (4×3) + (4×3) + (0×0) = 0 + 12 + 12 + 0 = 24

Espere, deixe-me refazer isso com o pareamento correto. A fórmula é Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ).

• (x₁y₂ − x₂y₁) = (0×0) − (4×0) = 0
• (x₂y₃ − x₃y₂) = (4×3) − (4×0) = 12
• (x₃y₄ − x₄y₃) = (4×3) − (0×3) = 12
• (x₄y₁ − x₁y₄) = (0×0) − (0×3) = 0

Soma = 0 + 12 + 12 + 0 = 24. Área = |24| / 2 = 12.

Verificação: Um retângulo de 4 × 3 tem área 12. ✓

Exemplo resolvido 2 — triângulo

Triângulo com vértices (0, 0), (6, 0), (3, 4).

• (0×0 − 6×0) = 0
• (6×4 − 3×0) = 24
• (3×0 − 0×4) = 0

Soma = 24. Área = 24 / 2 = 12.

Verificação: base do triângulo 6, altura 4, área = ½ × 6 × 4 = 12. ✓

Exemplo resolvido 3 — pentágono irregular

Pentágono com vértices (0, 0), (5, 0), (6, 3), (3, 5), (−1, 3).

• (0×0 − 5×0) = 0
• (5×3 − 6×0) = 15
• (6×5 − 3×3) = 21
• (3×3 − (−1)×5) = 9 + 5 = 14
• ((−1)×0 − 0×3) = 0

Soma = 50. Área = 50 / 2 = 25.

Observe: não há necessidade de calcular comprimentos dos lados ou decompor o pentágono em triângulos. Apenas as coordenadas dos vértices.

Por que o cadarço funciona?

Intuição: a fórmula do cadarço calcula a área assinada varrida ao percorrer o polígono. Cada termo (xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) é o dobro da área assinada do triângulo formado pela origem, pelo vértice i e pelo vértice i+1. Somando todos esses termos, obtemos o dobro da área do polígono. Divida por 2 para recuperar a área propriamente dita.

O valor absoluto trata do caso em que os vértices estão listados no sentido horário (resultando em um valor negativo) versus no sentido anti-horário (positivo). Ambas as ordenações fornecem a mesma área absoluta.

Sentido anti-horário vs horário

Listar os vértices no sentido anti-horário resulta em uma SOMA POSITIVA. O sentido horário resulta em uma SOMA NEGATIVA.

Isso é intencional — permite que a fórmula detecte a orientação. Em alguns contextos (geometria computacional, enrolamento de polígonos), o sinal indica qual "lado" do polígono você está traçando. Para o cálculo puro da área, basta tomar o valor absoluto.

Importante: os vértices devem estar em ordem

A fórmula do cadarço exige que os vértices sejam listados em ordem ao redor do contorno do polígono — seja consistentemente no sentido horário ou consistentemente no sentido anti-horário. Listá-los fora de ordem (pulando de um para outro) cria um "polígono" auto-intersectante que não existe fisicamente, e a fórmula retorna uma área diferente (menor).

Polígonos côncavos

O cadarço também funciona para polígonos côncavos (não convexos) — desde que o polígono seja simples (não se auto-intersecte). Basta listar os vértices em sua ordem natural de contorno.

Polígonos auto-intersectantes

Para polígonos com arestas cruzadas (como uma estrela desenhada com uma única linha contínua, ou um "laço"), o cadarço retorna um valor que depende dos cruzamentos — tipicamente a "líquida" área assinada, onde algumas regiões contam positivamente e outras negativamente. Para a maioria dos propósitos práticos, este não é o resultado desejado; certifique-se de que seu polígono seja simples antes de usar o cadarço.

Aplicações no mundo real

• Topografia. Cálculo da área terrestre a partir das coordenadas GPS dos cantos. A fórmula do cadarço é exatamente como os topógrafos calculam as áreas dos lotes.
• SIG / Mapeamento. Cálculo da área de uma região definida por vértices de polígono de latitude-longitude (com uma aproximação de Terra plana para regiões pequenas).
• Computação gráfica. Cálculo de áreas de polígonos para detecção de colisão, renderização ou algoritmos geométricos.
• Arquitetura e design. Cálculo de áreas de plantas baixas irregulares a partir de coordenadas CAD.
• Matemática — Teorema de Pick. Conta os pontos de rede dentro de um polígono com vértices inteiros, relacionado à área do cadarço.

Erros comuns

• Esquecer de fechar o polígono. O último vértice deve se conectar de volta ao primeiro. Inclua explicitamente (xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁) ou trate o fechamento implicitamente.
• Listar vértices fora de ordem. Uma ordenação aleatória cria uma forma auto-intersectante com área incorreta. Sempre trace o contorno em ordem.
• Esquecer o ½. A soma do cadarço é DOIS VEZES a área do polígono. Divida por 2 no final.
• Esquecer o valor absoluto. O resultado pode ser negativo (listagem no sentido horário). Áreas são sempre positivas — tome |resultado|.
• Usar em polígonos auto-intersectantes. O cadarço fornece "área assinada" para figuras auto-intersectantes; isso não é o mesmo que área física.