Calculateur du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est la relation la plus utile en géométrie plane : dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse. Exprimé sous forme de formule : a² + b² = c², où a et b sont les côtés de l'angle droit (les deux côtés formant l'angle droit) et c est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long). Ce tutoriel explique comment utiliser le théorème pour trouver n'importe quel côté manquant, reconnaître les triplets pythagoriciens les plus courants et appliquer le théorème en trois dimensions et sur des plans coordonnés.

Ce que dit le théorème — et pourquoi il fonctionne

Le théorème de Pythagore apparaît comme la Proposition I.47 dans les Éléments d'Euclide (vers 300 av. J.-C.), mais ce résultat était connu des mathématiciens babyloniens plus de mille ans auparavant — des tablettes d'argile datant d'environ 1800 av. J.-C. listent des dizaines de triplets pythagoriciens entiers (ensembles où a, b et c sont tous des nombres entiers).

Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Si votre triangle n'a pas d'angle de 90°, vous avez besoin de la loi des cosinus, plus générale (Loi des cosinus), qui se réduit à a² + b² = c² lorsque l'angle inclus est de 90°, car cos 90° = 0.

L'une des preuves géométriques les plus élégantes consiste à placer quatre copies du triangle rectangle à l'intérieur d'un carré de côté (a + b), disposées de sorte que les hypoténuses forment un carré intérieur. Le carré intérieur a une aire de c². Le carré extérieur a une aire de (a + b)² = a² + 2ab + b². En soustrayant les quatre triangles (chacun ayant une aire de ab/2, soit un total de 2ab) du carré extérieur : c² = (a² + 2ab + b²) − 2ab = a² + b². C.Q.F.D.

Trois façons d'utiliser le théorème

Selon le côté que vous connaissez et celui que vous cherchez, la formule se réarrange :

• Trouver l'hypoténuse (vous connaissez les deux côtés de l'angle droit) : c = √(a² + b²).
• Trouver le côté a (vous connaissez le côté b et l'hypoténuse) : a = √(c² − b²).
• Trouver le côté b (vous connaissez le côté a et l'hypoténuse) : b = √(c² − a²).

Dans les formules pour les côtés de l'angle droit, la valeur sous la racine carrée doit être positive — si vous obtenez jamais un nombre négatif sous la racine, cela signifie que vous avez fourni à la calculatrice un triangle impossible (un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, ce qui est impossible par définition).

Exemple 1 — Trouver l'hypoténuse

Entrée : a = 3, b = 4. Calcul : c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. c = √25 = 5.

C'est le plus célèbre de tous les triangles : le triangle rectangle 3-4-5. Les charpentiers et les constructeurs l'utilisent pour tracer des angles droits parfaits — mesurez 3 unités le long d'un bord, 4 unités perpendiculairement, et la diagonale fera exactement 5 unités seulement si le coin est véritablement carré.

Exemple 2 — Trouver un côté

Entrée : c = 13, a = 5. Calcul : b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. b = √144 = 12.

Ceci est le triangle 5-12-13 — un autre triplet entier. Notez que nous soustrayons ; la formule du côté est le théorème réarrangé.

Triplets pythagoriciens — ensembles de solutions entières

Un « triplet pythagoricien » est un ensemble de trois entiers positifs (a, b, c) tels que a² + b² = c². Les premiers triplets primitifs (où pgcd(a, b, c) = 1) :

• 3-4-5 (le fondamental)
• 5-12-13
• 8-15-17
• 7-24-25
• 20-21-29
• 9-40-41

Tout multiple d'un triplet primitif est aussi un triplet : 6-8-10 (= 2 × 3-4-5), 10-24-26 (= 2 × 5-12-13), 9-12-15 (= 3 × 3-4-5), et ainsi de suite. Reconnaître un triplet dans un problème permet de sauter entièrement l'étape de la racine carrée — si les côtés de l'angle droit sont 3 et 4, vous savez sans calculer que l'hypoténuse est 5.

L'extension en 3D

Le théorème de Pythagore s'étend naturellement à trois dimensions. Si un parallélépipède rectangle a des arêtes de longueurs a, b et c, alors la longueur de la diagonale de l'espace d (d'un coin au coin opposé) est :

d = √(a² + b² + c²)

Preuve : la diagonale de la face inférieure est √(a² + b²) selon le théorème standard. Ensuite, la diagonale de l'espace est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont cette diagonale de face et la hauteur c. En appliquant à nouveau le théorème : d² = (a² + b²) + c². Consultez la Calculatrice du théorème de Pythagore en 3D pour les problèmes impliquant des diagonales de boîtes.

La formule de la distance sur un plan coordonné

La distance entre deux points P₁ = (x₁, y₁) et P₂ = (x₂, y₂) est également une application directe du théorème. Traitez la différence horizontale |x₂ − x₁| comme un côté de l'angle droit et la différence verticale |y₂ − y₁| comme l'autre côté d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la distance :

distance = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Cette formule constitue toute la base de la géométrie analytique. Chaque distance, chaque norme, chaque norme euclidienne dans n'importe quelle dimension est une généralisation de a² + b² = c².

Vérifier qu'un triangle est rectangle

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés, le théorème devient un test : insérez-les et vérifiez si a² + b² = c² (où c est le côté le plus long). Si oui, le triangle est rectangle. Si a² + b² > c², le triangle est aigu (tous les angles inférieurs à 90°). Si a² + b² < c², le triangle est obtus (un angle supérieur à 90°). C'est la Réciproque du théorème de Pythagore.

Erreurs courantes

• Confondre l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit. L'hypoténuse est toujours le côté le plus long, toujours opposé à l'angle droit. Si un problème indique « le côté le plus long est 10 » et que vous insérez 10 dans un champ de côté de l'angle droit, toutes les réponses seront fausses.
• Oublier de prendre la racine carrée à la fin. Le théorème donne c², pas c. Pour obtenir c, prenez la racine carrée après avoir additionné les carrés des côtés de l'angle droit.
• Tenter d'appliquer le théorème à des triangles non rectangles. S'il n'y a pas d'angle de 90°, a² + b² ≠ c² — vous avez besoin de la loi des cosinus à la place.
• Mélanger les unités. Les trois côtés doivent être dans la même unité. Vous ne pouvez pas avoir des côtés de l'angle droit en pouces et une hypoténuse en centimètres.

Au-delà de la géométrie

Le théorème de Pythagore va bien au-delà de la géométrie plane. La même formule calcule les normes vectorielles en physique (la norme d'un vecteur vitesse avec des composantes (vx, vy) est √(vx² + vy²)), le module des nombres complexes (|a + bi| = √(a² + b²)) et la distance euclidienne dans n'importe quel nombre de dimensions. C'est aussi l'origine géométrique de l'identité trigonométrique sin²θ + cos²θ = 1 (un triplet pythagoricien sur le cercle unité).