Calculadora de fórmula de sección

La Fórmula de la Sección encuentra el punto que divide un segmento de recta en una razón dada. Generaliza la fórmula del punto medio: el punto medio es el caso especial donde la razón es 1:1. La fórmula de la sección tiene dos versiones: división interna (el punto se encuentra entre los dos extremos) y división externa (el punto se encuentra fuera del segmento, en su prolongación). Este tutorial cubre ambas, las deriva del principio de triángulos semejantes y presenta ejemplos resueltos para cada caso.

La fórmula de división interna

Dados dos puntos P₁ = (x₁, y₁) y P₂ = (x₂, y₂), el punto P que divide el segmento P₁P₂ internamente en la razón m:n es:

P = ( (mx₂ + nx₁) / (m + n),   (my₂ + ny₁) / (m + n) )

El punto P está ENTRE P₁ y P₂. La razón m:n significa que P está a m unidades de P₁ por cada n unidades de distancia desde P₂. (Por lo tanto, si m > n, P está más cerca de P₂; si m < n, P está más cerca de P₁.)

Caso especial — el punto medio

Estableciendo m = n = 1 se obtiene:

P = ( (1·x₂ + 1·x₁) / 2, (1·y₂ + 1·y₁) / 2 ) = ( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 )

Esa es la fórmula del punto medio. El punto medio divide el segmento en una razón de 1:1, equidistante de ambos extremos.

Origen de la fórmula

La fórmula de división interna se deriva de triángulos semejantes. Imagina el segmento P₁P₂ en un plano cartesiano. Traza perpendiculares desde P₁, P y P₂ hasta el eje x. Las tres posiciones horizontales resultantes son x₁, x_P y x₂.

Por semejanza de triángulos, la razón de las posiciones horizontales coincide con la razón en la que P divide el segmento:

(x_P − x₁) / (x₂ − x_P) = m / n

Multiplicando en cruz: n(x_P − x₁) = m(x₂ − x_P)
n · x_P − n · x₁ = m · x₂ − m · x_P
x_P (m + n) = m · x₂ + n · x₁
x_P = (m · x₂ + n · x₁) / (m + n)

La misma lógica se aplica a y_P. Combinando ambos resultados se obtiene la fórmula de la sección.

División externa

Si P se encuentra en la RECTA que pasa por P₁ y P₂ pero FUERA del segmento (más allá de uno de los extremos), decimos que P divide el segmento externamente en la razón m:n.

La fórmula es similar pero con un cambio de signo:

P_ext = ( (mx₂ − nx₁) / (m − n),   (my₂ − ny₁) / (m − n) )

Misma estructura, pero con resta en lugar de suma tanto en el numerador como en el denominador.

Truco equivalente: la división externa en razón m:n es equivalente a la división interna en razón m:(−n), o bien en razón (−m):n. Nuestra calculadora maneja ambos casos: introduce n como negativo para la división externa.

Ejemplo resuelto 1 — división interna

Encuentra el punto que divide el segmento desde P₁ = (1, 2) hasta P₂ = (7, 8) en la razón 2:1 (interna).

m = 2, n = 1, m + n = 3.

x_P = (2 · 7 + 1 · 1) / 3 = (14 + 1) / 3 = 15/3 = 5
y_P = (2 · 8 + 1 · 2) / 3 = (16 + 2) / 3 = 18/3 = 6

P = (5, 6). Verificación: la distancia desde (1,2) hasta (5,6) es √(16+16) = √32 ≈ 5.66. La distancia desde (5,6) hasta (7,8) es √(4+4) = √8 ≈ 2.83. La razón es 5.66 : 2.83 ≈ 2 : 1. ✓

Ejemplo resuelto 2 — punto medio mediante la fórmula de la sección

Encuentra el punto medio de P₁ = (2, −3) y P₂ = (8, 5). Usa la fórmula de la sección con m = n = 1:

x_M = (1 · 8 + 1 · 2) / 2 = 10/2 = 5
y_M = (1 · 5 + 1 · (−3)) / 2 = 2/2 = 1

M = (5, 1). Mismo resultado que da la fórmula estándar del punto medio.

Ejemplo resuelto 3 — división externa

Encuentra el punto que divide P₁ = (1, 2) y P₂ = (4, 5) externamente en la razón 3:2.

x_P = (3 · 4 − 2 · 1) / (3 − 2) = (12 − 2) / 1 = 10
y_P = (3 · 5 − 2 · 2) / (3 − 2) = (15 − 4) / 1 = 11

P = (10, 11). Este punto se encuentra sobre la recta que pasa por P₁ y P₂, más allá de P₂ (prolongando el segmento).

Extensión a 3D

Al igual que la fórmula del punto medio, la fórmula de la sección se extiende a tres dimensiones añadiendo un término de coordenada z:

P = ((mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n), (mz₂ + nz₁)/(m+n))

Cada componente (x, y, z) se divide en la misma razón.

Baricentro de un triángulo — aplicación de la fórmula de la sección

El baricentro (intersección de las tres medianas) de un triángulo con vértices A, B, C se encuentra en:

baricentro = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)

Este es un punto que divide cada mediana en una razón 2:1. El baricentro divide cada mediana (desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto) en la razón 2:1 contando desde el vértice. Aplicando la fórmula de la sección a la relación (vértice) : (punto medio del lado opuesto) con razón 2:1 se obtiene el baricentro anterior.

La forma de promedio con 1/3 es la simplificación que resulta de desarrollar la fórmula de la sección para este caso particular.

Aplicaciones en el mundo real

• Topografía y cartografía. Localizar un punto sobre una línea a una fracción determinada del camino entre dos puntos conocidos.
• Gráficos por computadora. Interpolación de animación: la posición en el tiempo t a lo largo de una trayectoria P₁ → P₂ corresponde a la sección t : (1−t), a menudo escrita como P(t) = (1−t)P₁ + tP₂. Misma idea que la fórmula de la sección.
• Física — centro de masa. El centro de masa de dos masas puntuales m₁ en P₁ y m₂ en P₂ es la sección de P₁P₂ en razón m₂ : m₁ (la masa mayor atrae el centro de masa hacia sí).
• Arquitectura. Dividir una viga, columna o fachada en posiciones proporcionales por razones estéticas o estructurales (la razón áurea φ ≈ 1.618 es un ejemplo famoso).

Errores comunes

• Invertir m y n en la fórmula. En la fórmula interna, m multiplica a x₂ y n multiplica a x₁; es decir, m corresponde al punto MÁS LEJANO. Invertirlos produce un punto diferente.
• Confundir división interna con externa. La división interna sitúa a P entre P₁ y P₂. La división externa sitúa a P fuera. Comprueba si tu problema indica "internamente" o "externamente", o infiere cuál corresponde según el contexto.
• Olvídarse de simplificar la razón. El punto que divide en razón 4:6 es el mismo que divide en razón 2:3. Simplificar la razón conduce al mismo resultado con números más pequeños.
• Usar la fórmula con puntos no colineales. La fórmula de la sección siempre genera un punto sobre la recta que pasa por P₁ y P₂; si buscas un punto que no esté en esa recta, la fórmula de la sección no es la herramienta adecuada.