Calculateur de formule de section

La formule de partage de segment permet de trouver le point qui divise un segment de droite selon un rapport donné. Elle généralise la formule du milieu — le milieu est le cas particulier où le rapport est de 1:1. La formule de partage possède deux versions : la division interne (le point se situe entre les deux extrémités) et la division externe (le point se trouve à l'extérieur du segment, sur son prolongement). Ce tutoriel couvre les deux cas, les dérive à partir du principe des triangles semblables, et présente des exemples résolus pour chacun.

La formule de division interne

Étant donnés deux points P₁ = (x₁, y₁) et P₂ = (x₂, y₂), le point P qui divise le segment P₁P₂ intérieurement dans le rapport m:n est :

P = ( (mx₂ + nx₁) / (m + n),   (my₂ + ny₁) / (m + n) )

Le point P se situe ENTRE P₁ et P₂. Le rapport m:n signifie que P est situé à m unités de P₁ pour chaque n unités de P₂. (Ainsi, si m > n, P est plus proche de P₂ ; si m < n, P est plus proche de P₁.)

Cas particulier — le milieu

En posant m = n = 1, on obtient :

P = ( (1·x₂ + 1·x₁) / 2, (1·y₂ + 1·y₁) / 2 ) = ( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 )

C'est la formule du milieu. Le milieu divise le segment selon le rapport 1:1 — il est équidistant des deux extrémités.

Origine de la formule

La formule de division interne découle des triangles semblables. Imaginez le segment P₁P₂ sur un plan cartésien. Abaissez des perpendiculaires depuis P₁, P et P₂ vers l'axe des abscisses (axe des x). Les trois positions horizontales résultantes sont x₁, x_P et x₂.

Par similitude des triangles, le rapport des positions horizontales correspond au rapport selon lequel P divise le segment :

(x_P − x₁) / (x₂ − x_P) = m / n

Produit en croix : n(x_P − x₁) = m(x₂ − x_P)
n · x_P − n · x₁ = m · x₂ − m · x_P
x_P (m + n) = m · x₂ + n · x₁
x_P = (m · x₂ + n · x₁) / (m + n)

Même logique pour y_P. En combinant les résultats, on obtient la formule de partage.

Division externe

Si P se trouve sur la DROITE passant par P₁ et P₂ mais HORS du segment (au-delà d'une des extrémités), on dit que P divise le segment extérieurement dans le rapport m:n.

La formule est similaire mais avec un changement de signe :

P_ext = ( (mx₂ − nx₁) / (m − n),   (my₂ − ny₁) / (m − n) )

Même forme, mais avec une soustraction au lieu d'une addition, tant au numérateur qu'au dénominateur.

Astuce équivalente : la division externe dans le rapport m:n équivaut à une division interne dans le rapport m:(−n), ou encore dans le rapport (−m):n. Notre calculateur gère les deux cas — saisissez n comme valeur négative pour une division externe.

Exemple résolu 1 — division interne

Trouver le point qui divise le segment allant de P₁ = (1, 2) à P₂ = (7, 8) dans le rapport 2:1 (interne).

m = 2, n = 1, m + n = 3.

x_P = (2 · 7 + 1 · 1) / 3 = (14 + 1) / 3 = 15/3 = 5
y_P = (2 · 8 + 1 · 2) / 3 = (16 + 2) / 3 = 18/3 = 6

P = (5, 6). Vérification : la distance de (1,2) à (5,6) est √(16+16) = √32 ≈ 5,66. La distance de (5,6) à (7,8) est √(4+4) = √8 ≈ 2,83. Le rapport est 5,66 : 2,83 ≈ 2 : 1. ✓

Exemple résolu 2 — milieu via la formule de partage

Trouver le milieu de P₁ = (2, −3) et P₂ = (8, 5). Utiliser la formule de partage avec m = n = 1 :

x_M = (1 · 8 + 1 · 2) / 2 = 10/2 = 5
y_M = (1 · 5 + 1 · (−3)) / 2 = 2/2 = 1

M = (5, 1). Même résultat que celui donné par la formule standard du milieu.

Exemple résolu 3 — division externe

Trouver le point qui divise P₁ = (1, 2) et P₂ = (4, 5) extérieurement dans le rapport 3:2.

x_P = (3 · 4 − 2 · 1) / (3 − 2) = (12 − 2) / 1 = 10
y_P = (3 · 5 − 2 · 2) / (3 − 2) = (15 − 4) / 1 = 11

P = (10, 11). Ce point se trouve sur la droite passant par P₁ et P₂, au-delà de P₂ (prolongement du segment).

Extension en 3D

Tout comme la formule du milieu, la formule de partage s'étend aux trois dimensions en ajoutant un terme de coordonnée z :

P = ((mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n), (mz₂ + nz₁)/(m+n))

Chaque composante (x, y, z) est divisée selon le même rapport.

Centre de gravité d'un triangle — application de la formule de partage

Le centre de gravité (intersection des trois médianes) d'un triangle ayant pour sommets A, B et C est situé à :

centre_de_gravité = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)

Ceci correspond à une section 2:1 de chaque médiane. Le centre de gravité divise chaque médiane (d'un sommet au milieu du côté opposé) dans le rapport 2:1 en partant du sommet. L'application de la formule de partage au rapport (sommet) : (milieu du côté opposé) égal à 2:1 donne le centre de gravité ci-dessus.

La forme de moyenne par 1/3 est la simplification obtenue en développant la formule de partage pour ce cas particulier.

Applications pratiques

• Topographie et cartographie. Localisation d'un point sur une ligne à une fraction donnée du chemin entre deux points connus.
• Infographie. Interpolation d'animation : la position à l'instant t le long d'un trajet P₁ → P₂ est la section t : (1−t), souvent écrite P(t) = (1−t)P₁ + tP₂. Même principe que la formule de partage.
• Physique — centre de masse. Le centre de masse de deux masses ponctuelles m₁ en P₁ et m₂ en P₂ est la section de P₁P₂ dans le rapport m₂ : m₁ (la masse plus lourde attire le centre de masse vers elle).
• Architecture. Division d'une poutre, d'une colonne ou d'une façade à des positions proportionnelles à des fins esthétiques ou structurelles (le nombre d'or φ ≈ 1,618 est un exemple célèbre).

Erreurs courantes

• Inverser m et n dans la formule. La formule interne fait multiplier m par x₂ et n par x₁ — c'est-à-dire que m correspond au point LE PLUS ÉLOIGNÉ. Les inverser donne un point différent.
• Confondre division interne et externe. La division interne place P entre P₁ et P₂. La division externe place P à l'extérieur. Vérifiez si votre problème indique « intérieurement » ou « extérieurement », ou si le contexte l'implique.
• Oublier de simplifier le rapport. Le point divisant dans le rapport 4:6 est identique au point divisant dans le rapport 2:3. La simplification conduit au même résultat avec des nombres plus petits.
• Utiliser la formule sur un point non aligné. La formule de partage produit toujours un point situé sur la droite passant par P₁ et P₂ — si vous souhaitez un point ne se trouvant pas sur cette droite, la formule de partage n'est pas l'outil approprié.