Calculadora de fórmula de seção

A Fórmula da Seção encontra o ponto que divide um segmento de reta em uma dada razão. Ela generaliza a fórmula do ponto médio — o ponto médio é o caso especial em que a razão é 1:1. A fórmula da seção tem duas versões: divisão interna (o ponto fica entre as duas extremidades) e divisão externa (o ponto fica fora do segmento, na sua extensão). Este tutorial cobre ambos, deriva-os a partir do princípio dos triângulos semelhantes e apresenta exemplos resolvidos para cada caso.

A fórmula da divisão interna

Dados dois pontos P₁ = (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂), o ponto P que divide o segmento P₁P₂ internamente na razão m:n é:

P = ( (mx₂ + nx₁) / (m + n),   (my₂ + ny₁) / (m + n) )

O ponto P está ENTRE P₁ e P₂. A razão m:n significa que P está a m unidades de distância de P₁ para cada n unidades de distância de P₂. (Portanto, se m > n, P está mais próximo de P₂; se m < n, P está mais próximo de P₁.)

Caso especial — o ponto médio

Definindo m = n = 1, obtemos:

P = ( (1·x₂ + 1·x₁) / 2, (1·y₂ + 1·y₁) / 2 ) = ( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 )

Essa é a fórmula do ponto médio. O ponto médio divide o segmento na razão 1:1 — equidistante de ambas as extremidades.

Origem da fórmula

A fórmula da divisão interna decorre de triângulos semelhantes. Imagine o segmento P₁P₂ em um plano cartesiano. Trace perpendiculares de P₁, P e P₂ até o eixo x. As três posições horizontais resultantes são x₁, x_P e x₂.

Pelos triângulos semelhantes, a razão das posições horizontais corresponde à razão pela qual P divide o segmento:

(x_P − x₁) / (x₂ − x_P) = m / n

Multiplicando cruzado: n(x_P − x₁) = m(x₂ − x_P)
n · x_P − n · x₁ = m · x₂ − m · x_P
x_P (m + n) = m · x₂ + n · x₁
x_P = (m · x₂ + n · x₁) / (m + n)

A mesma lógica se aplica a y_P. Combinando, obtém-se a fórmula da seção.

Divisão externa

Se P estiver na RETA que passa por P₁ e P₂, mas FORA do segmento (além de uma das extremidades), dizemos que P divide o segmento externamente na razão m:n.

A fórmula é semelhante, mas com inversão de sinal:

P_ext = ( (mx₂ − nx₁) / (m − n),   (my₂ − ny₁) / (m − n) )

Mesma forma, mas com subtração em vez de adição tanto no numerador quanto no denominador.

Truque equivalente: a divisão externa na razão m:n é a divisão interna na razão m:(−n), ou equivalentemente na razão (−m):n. Nossa calculadora lida com ambos — insira n como negativo para a divisão externa.

Exemplo resolvido 1 — divisão interna

Encontre o ponto que divide o segmento de P₁ = (1, 2) a P₂ = (7, 8) na razão 2:1 (interna).

m = 2, n = 1, m + n = 3.

x_P = (2 · 7 + 1 · 1) / 3 = (14 + 1) / 3 = 15/3 = 5
y_P = (2 · 8 + 1 · 2) / 3 = (16 + 2) / 3 = 18/3 = 6

P = (5, 6). Verificação: a distância de (1,2) a (5,6) é √(16+16) = √32 ≈ 5,66. A distância de (5,6) a (7,8) é √(4+4) = √8 ≈ 2,83. A razão é 5,66 : 2,83 ≈ 2 : 1. ✓

Exemplo resolvido 2 — ponto médio via fórmula da seção

Encontre o ponto médio de P₁ = (2, −3) e P₂ = (8, 5). Use a fórmula da seção com m = n = 1:

x_M = (1 · 8 + 1 · 2) / 2 = 10/2 = 5
y_M = (1 · 5 + 1 · (−3)) / 2 = 2/2 = 1

M = (5, 1). Mesma resposta que a fórmula padrão do ponto médio fornece.

Exemplo resolvido 3 — divisão externa

Encontre o ponto que divide P₁ = (1, 2) e P₂ = (4, 5) externamente na razão 3:2.

x_P = (3 · 4 − 2 · 1) / (3 − 2) = (12 − 2) / 1 = 10
y_P = (3 · 5 − 2 · 2) / (3 − 2) = (15 − 4) / 1 = 11

P = (10, 11). Este ponto está na reta que passa por P₁ e P₂, além de P₂ (prolongando o segmento).

Extensão para 3D

Assim como a fórmula do ponto médio, a fórmula da seção estende-se para três dimensões adicionando um termo de coordenada z:

P = ((mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n), (mz₂ + nz₁)/(m+n))

Cada componente (x, y, z) divide-se na mesma razão.

Baricentro de um triângulo — uma aplicação da fórmula da seção

O baricentro (interseção das três medianas) de um triângulo com vértices A, B, C está localizado em:

baricentro = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)

Este é um ponto que divide cada mediana na razão 2:1. O baricentro divide cada mediana (de um vértice ao ponto médio do lado oposto) na razão 2:1 a partir do vértice. Aplicando a fórmula da seção a (vértice) : (ponto médio do lado oposto) com razão 2:1, obtém-se o baricentro acima.

A forma de média 1/3 é a simplificação que se obtém ao desenvolver a fórmula da seção para este caso especial.

Aplicações no mundo real

• Topografia e mapeamento. Localização de um ponto em uma linha a uma fração dada do caminho entre dois pontos conhecidos.
• Computação gráfica. Interpolação de animação: a posição no tempo t ao longo de um caminho P₁ → P₂ é a seção t : (1−t), frequentemente escrita como P(t) = (1−t)P₁ + tP₂. A mesma ideia da fórmula da seção.
• Física — centro de massa. O centro de massa de duas massas pontuais m₁ em P₁ e m₂ em P₂ é a seção de P₁P₂ na razão m₂ : m₁ (a massa mais pesada puxa o centro de massa para mais perto dela).
• Arquitetura. Divisão de uma viga, coluna ou fachada em posições proporcionais por motivos estéticos ou estruturais (a razão áurea φ ≈ 1,618 é um exemplo famoso).

Erros comuns

• Inverter m e n na fórmula. A fórmula interna tem m multiplicando x₂ e n multiplicando x₁ — ou seja, m corresponde ao ponto MAIS DISTANTE. Invertê-los resulta em um ponto diferente.
• Confundir divisão interna com externa. A divisão interna coloca P entre P₁ e P₂. A divisão externa coloca P fora. Verifique se o seu problema diz "internamente" ou "externamente", ou se isso é implícito pelo contexto.
• Esquecer de simplificar a razão. O ponto que divide na razão 4:6 é o mesmo que o ponto que divide na razão 2:3. Simplificar dá a mesma resposta com números menores.
• Usar a fórmula em um ponto não colinear. A fórmula da seção sempre produz um ponto na reta que passa por P₁ e P₂ — se você quiser um ponto que não esteja nessa reta, a fórmula da seção não é a ferramenta adequada.