Calculadora de bisectriz de segmento

La mediatriz de un segmento de recta es la línea que cruza el segmento en su punto medio EN UN ÁNGULO RECTO (90°). Es una de las construcciones más importantes en geometría: es la única línea formada por todos los puntos equidistantes de los dos extremos del segmento. La Calculadora de Mediatrices toma las coordenadas de dos extremos y devuelve la ecuación de la medatriz. Este tutorial explica qué hace especial a la medatriz, la derivación de su ecuación y el papel más amplio que desempeña en la geometría de los triángulos (circuncentro, teorema de la mediatriz).

Dos propiedades definitorias

Una línea es la mediatriz del segmento AB si SE CUMPLEN AMBAS de las siguientes condiciones:

1. Pasa por el punto medio de AB.
2. Es perpendicular (a 90°) a AB.

Ninguna propiedad por sí sola es suficiente. Una línea que pasa por el punto medio pero no es perpendicular es simplemente "una bisectriz" (no perpendicular). Una línea perpendicular que no pasa por el punto medio es solo "una línea perpendicular" (no una bisectriz). La mediatriz es la única línea que satisface ambas condiciones.

La propiedad de equidistancia

La mediatriz tiene una propiedad notable: su definición como lugar geométrico:

Un punto pertenece a la mediatriz del segmento AB si y solo si está equidistante de A y B.

Este es el Teorema de la Mediatriz. Esto significa:

• Cada punto en la mediatriz está a igual distancia de los dos extremos.
• Recíprocamente, cualquier punto equidistante de A y B se encuentra en la mediatriz.

Geométricamente: la mediatriz es el CONJUNTO DE TODOS LOS PUNTOS a igual distancia de A y B. Esta caracterización como lugar geométrico es por lo que la mediatriz aparece en tantas construcciones basadas en distancias.

Ejemplo resuelto: encontrar la mediatriz

Encontrar la mediatriz del segmento desde A = (2, 1) hasta B = (8, 5).

Paso 1: Encontrar el punto medio.

M = ((2 + 8) / 2, (1 + 5) / 2) = (5, 3).

Paso 2: Encontrar la pendiente de AB.

m_AB = (5 − 1) / (8 − 2) = 4 / 6 = 2/3.

Paso 3: Tomar el recíproco negativo para la pendiente perpendicular.

m_perp = −1 / (2/3) = −3/2.

Paso 4: Escribir la ecuación en forma punto-pendiente.

y − 3 = (−3/2)(x − 5)

O en forma pendiente-ordenada al origen: y = (−3/2)x + 15/2 + 3 = y = (−3/2)x + 10.5.

Verificación: comprobar la equidistancia

Seleccionar un punto en la mediatriz, por ejemplo (5, 3) (el punto medio). Distancia a A = √((5−2)² + (3−1)²) = √13. Distancia a B = √((5−8)² + (3−5)²) = √13. Iguales. ✓

Probar con otro punto. De la ecuación de la mediatriz, para x = 1: y = −1.5 + 10.5 = 9. Distancia desde (1, 9) a A = √(1 + 64) = √65. A B = √(49 + 16) = √65. Iguales. ✓

El circuncentro

Uno de los cuatro "centros" clásicos del triángulo: el circuncentro es el punto donde se encuentran las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita: el único círculo que pasa por los tres vértices.

Por qué las tres se encuentran en un mismo punto: cada mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos de los vértices del triángulo. Donde la mediatriz del lado AB se encuentra con la mediatriz del lado BC, el punto es equidistante de A, B Y C, por lo que también se encuentra en la mediatriz del lado CA. Las tres concurren.

La distancia del circuncentro a cada vértice es igual al circunradio R. Para un triángulo obtusángulo, el circuncentro se encuentra FUERA del triángulo.

Construcción con compás y regla

La mediatriz es una de las construcciones fundamentales con compás y regla:

1. Abrir el compás a cualquier anchura mayor que la mitad de la longitud del segmento.
2. Colocar el compás en uno de los extremos y trazar un arco a ambos lados del segmento.
3. Sin cambiar la abertura del compás, colocarlo en el otro extremo y trazar un arco a ambos lados. Los arcos se intersecan en DOS puntos (uno por encima del segmento y otro por debajo).
4. Usar una regla para conectar esos dos puntos de intersección. Esta es la mediatriz.

Por qué funciona: debido al ajuste del compás, ambos puntos de intersección están equidistantes de los dos extremos (cada uno fue alcanzado por ambos arcos con el mismo radio). Por el teorema de la mediatriz, esos puntos equidistantes pertenecen a la mediatriz, por lo que la línea que los une ES la mediatriz.

La fórmula de la pendiente perpendicular

Dos líneas con pendientes m₁ y m₂ son perpendiculares si y solo si:

m₁ × m₂ = −1

(equivalentemente, m₂ = −1/m₁: el "recíproco negativo").

Casos especiales:

• Segmento horizontal (pendiente 0): la pendiente perpendicular es indefinida → la mediatriz es vertical.
• Segmento vertical (pendiente indefinida): la pendiente perpendicular es 0 → la mediatriz es horizontal.
• Pendiente 1: la pendiente perpendicular es −1.

Aplicaciones en el mundo real

• Ubicación de instalaciones equidistantes. Una nueva estación de bomberos debería estar equidistante de dos estaciones existentes; se ubica sobre la mediatriz del segmento de recta que las une.
• Problemas de mediación / justicia. Dividir una línea de propiedad equidistante de dos límites utiliza el concepto de mediatriz.
• Gráficos por computadora. Los diagramas de Voronoi dividen un plano según la distancia a puntos "semilla"; los límites entre las celdas de Voronoi son mediatrices de las semillas.
• Triangulación GPS. Localizar una posición a partir de distancias a puntos conocidos utiliza intersecciones de mediatrices.

Errores comunes

• Usar la pendiente original en lugar del recíproco negativo. La pendiente de la mediatriz es el RECÍPROCO NEGATIVO de la pendiente del segmento, no la misma.
• Olvidar que pasa por el punto medio. Una línea perpendicular a AB pero que no pasa por el punto medio no es una "mediatriz", sino simplemente una línea perpendicular. Ambas condiciones son importantes.
• Confundir la mediatriz con la bisectriz de un ángulo. Son cosas diferentes: la mediatriz se aplica a segmentos de recta; la bisectriz de un ángulo divide un ángulo en dos partes iguales.
• Tratar el "recíproco negativo" de un segmento vertical como indefinido. Un segmento vertical tiene pendiente indefinida; su perpendicular tiene pendiente 0 (horizontal). Usar la regla del caso especial, no la fórmula general.